§ 3. Разностное уравнение второго порядка

В этом параграфе будет получена формула, выражающая общее решение неоднородного разностного уравнения с постоянными коэффициентами

В § 1 выяснено, что общее решение имеет вид

где — какое-нибудь частное решение заданного неоднородного уравнения, а

— общее решение соответствующего однородного уравнения

Сначала найдем формулу для общего решения однородного уравнения (3), а потом фундаментальное решение и частное решение неоднородного уравнения.

1. Общее решение однородного уравнения.

Вспоминая, что в случае разностного уравнения первого порядка существовало частное решение вида попробуем и здесь искать частное решение в виде геометрической прогрессии. Подставим выражение в разностное уравнение и убедимся, что оно действительно будет решением, если q является корнем квадратного уравнения

называемого характеристическим уравнением. Корни этого уравнения могут быть различными или кратными. Рассмотрим последовательно оба случая. Если корни этого характеристического уравнения различны, то мы можем найти в виде геометрической прогрессии даже два независимых частных решения:

Линейная комбинация

этих двух решений с произвольными постоянными коэффициентами тоже будет решением однородного уравнения. Покажем, что это — общее решение.

Действительно, произвольное частное решение однородного уравнения, принимающее при и любые наперед заданные значения может быть записано в таком виде. Достаточно определить из равенств

т. е. положить

В частности, определенные в § 1 как решения однородного уравнения, удовлетворяющие условиям

имеют вид

Из формул (6) видно, что они непригодны в случае кратного корня Рассмотрим теперь этот случай.

При одно частное решение снова может быть записано в виде Чтобы найти второе, сделаем в уравнении (3) подстановку после чего получим для уравнение

Как известно, равно произведению, а сумме с обратным знаком корней характеристического уравнения (4). Так как оба эти корня равны то

вследствие чего разностное уравнение для может быть переписано так:

или несколько проще:

Переписав еще раз это уравнение в виде

мы видим, что разность не меняется при изменении п. Таким образом, решением является произвольная арифметическая прогрессия. Нам достаточно найти какое-нибудь одно решение, и мы возьмем арифметическую прогрессию Вспоминая, что мы искали в виде , получаем, что среди решений уравнения есть решение

Итак, в случае кратных корней в дополнение к частному решению мы нашли еще одно независимое частное решение

Линейная комбинация

с произвольными постоянными коэффициентами тоже будет решением однородного уравнения, причем произвольное частное решение можно получить из этой формулы, соответствующим образом подбирая числа . В частности, решения в случае кратных корней имеют вид

Интересно отметить, что формулы (7) могут быть получены из формул (6) для в случае некратных корней характеристического уравнения. Тогда мы имели для равенства

Заставим корень приближаться к корню При этом выражения

стремятся к некоторым пределам, а именно соответственно к . Таким образом, мы видим, что в случае кратных корней решения примут вид (7).

Итак, мы построили решения во всех случаях, которые могут представиться при а и с, отличных от нуля.

Тем самым мы показали, что всегда можно выписать в явном виде любое решение интересующего нас однородного разностного уравнения второго порядка.

Интересно остановиться подробнее на случае, когда при вещественных коэффициентах а, b, с уравнение а имеет комплексно-сопряженные корни Покажем, что в этом случае общее решение однородного разностного уравнения (3) может быть записано в следующем виде:

где определено равенством

а — произвольные постоянные.

Найдем явные выражения для

В нашем случае комплексных корней . Поэтому мы можем обозначить

после чего запишутся так:

Подставим эти значения для в формулу (5).

При получим частное решение

а при - частное решение

Линейная комбинация этих частных решений с произвольными постоянными коэффициентами и дает общее решение (8), выписанное выше. (Возможность записать в таком виде частное решение (8), принимающее при любые наперед заданные значения, читатель легко проверит самостоятельно.)