7. Общие краевые задачи для систем разностных уравнений.

Задача (1), (2) является лишь простейшей краевой задачей для уравнения второго порядка.

Сформулируем без доказательства необходимые и достаточные условия хорошей обуслрвленности общих краевых задач для систем разностных уравнений на сеточном отрезке (В. С. Рябенький, ЖВМ и МФ 4, 2 (1964)).

Краевая задача состоит в отыскании вектор-функции удовлетворяющей условиям

Здесь — квадратные матрицы некоторого порядка векторы той же размерности; — матрицы, имеющие по . столбцов и строк; — матрицы, имеющие по столбцов строк; — заданный -мерный вектор; — заданный -мерный вектор.

Задача (1'), (2') хорошо обусловлена, если она имеет решение при произвольных причем

где М не зависит от

Относительно коэффициентов будем предполагать, что

где - матрица, определенная на отрезке 1, удовлетворяющая на этом отрезке условию гладкости

Далее, предположим, что

При этих ограничениях для хорошей обусловленности задачи (1'), (2') необходимо и достаточно, чтобы выполнялось каждое из следующих условий

1° Среди корней и v уравнений

нет равных единице по модулю, причем корни и v этих уравнений удовлетворяют каждый одному из следующих четырех неравенств:

где не зависит от

Размерность матриц равна числу тех корней модуль которых меньше единицы, а размерность s матриц равна числу тех корней v, модуль которых меньше единицы.

3° Среди решений , задачи

и среди решений задачи

нет ограниченных, отличных от тождественного нуля.

Последнему условию, 3°, можно придать вид необращения в нуль некоторых определителей с элементами, не зависящими от

Проиллюстрируем сформулированный критерий, исследовав условия хорошей обусловленности задачи

где — некоторые числа; . Корни уравнений

равны

Среди них нет равных единице по модулю, и условие не выполнено.

Условие 2° тоже выполнено, так как количество скалярных граничных условий на левой и правой границах равно и равно числу тех корней и V, которые меньше единицы по модулю.

Выясним, при каких значениях а задача

не имеет нетривиальных ограниченных решений. Общий вид решения задачи

Из условия ограниченности находим . Поэтому

Учитывая условие видим, что при нетривиальных решений нет, а при а = 0 они есть.

Выясним, при каких задача

не имеет ограниченных при нетривиальных решений. Общее решение задачи есть

Оно ограничено при Из граничного условия видим, что

и нетривиальное решение, , существует только при

Итак, рассматриваемая краевая задача хорошо обусловлена при любых и Если или задача не является хорошо обусловленной.