2. Неявная разностная схема.

Теперь рассмотрим неявную разностную схему

Для того, чтобы, зная значения , вычислить значения надо решить задачу

Эта задача после умножения обеих частей разностного уравнения на — примет вид

где

Коэффициенты удовлетворяют условиям

Поэтому, как показано в §§ 4, 5, задача имеет единственное решение

которое можно найти методом прогонки.

Для доказательства устойчивости осталось показать выполнение неравенства (12). Для этого докажем, что имеет место неравенство (5) (принцип максимума), из которого оценки (12), (10) выводятся дословно так же, как для явной схемы (2).

Из всех значений по модулю равных возьмем то, у которого индекс m принимает наименьшее значение Если или m — М, то в силу (8) выполнение неравенства (5) очевидно. Пусть . Выпишем отвечающее этому значению уравнение (14):

Пусть для определенности Тогда левую часть этого равенства оценим так:

Поэтому