ЗАДАЧИ

Разностную краевую задачу

будем называть хорошо обусловленной, если она имеет одно и только одно решение при каждом N, и если числа образующие решение удовлетворяют неравенству где М

от N не зависит.

1. Если оба корня характеристического уравнения а по модулю меньше (больше) единицы, то разностная краевая задача не может быть хорошо обусловлена. Для простоты считать Доказать.

2. Если хотя бы один из корней характеристического уравнения по модулю равен единице, то разностная краевая задача не может быть хорошо обусловлена. Доказать.

3. Если , то

то задача не может быть хорошо обусловлена. Доказать.

4. Для хорошей обусловленности разностной краевой задачи необходимо и достаточно, чтобы один корень характеристического уравнения по модулю был меньше единицы, а второй больше единицы, и чтобы . Доказать.

5. Задача с постоянными (комплексными) коэффициентами

с произвольной периодической правой частью

имеет при всех достаточно больших N периодическое решение удовлетворяющее опенке

где М от N и от не зависит, в том случае, если среди корней характеристического уравнения нет равных единице по модулю. Доказать.