§ 18. Прием исследования устойчивости нелинейных задач
Способы исследования устойчивости, изложенные в §§ 14 и 15, были непосредственно приспособлены для разностных уравнений с постоянными коэффициентами. Поэтому может показаться, что нельзя использовать приведенный в этих параграфах материал для анализа схем - интегрирования даже уравнений 
с довольно общей функцией G. Однако это не так.
Пусть интересующая нас интегральная кривая уравнения
проходит через точку с координатами 
Вблизи этой точки имеем
и поэтому уравнение (1) с определенной точностью может быть заменено более простым:
где
Естественно, что схемы, которые мы хотим применять для нахождения нужного решения, должны хорошо интегрировать уравнение (3), аппроксимирующее уравнение (1) вблизи некоторой точки, через которую проходит интегральная кривая. Конечно, для разных точек этой кривой величина коэффициента А, полученного описанным способом линеаризации исходного уравнения, будет различной. Поэтому, отбирая ту или иную разностную схему, мы должны будем ее проверить на уравнении (3) не с одним значением А, а с целым набором таких значений, достаточно полно описывающим диапазон изменения 
вдоль интегральной кривой. В подавляющем большинстве практически встречающихся случаев такого исследования оказывается достаточно для выявления всех существенных недостатков и достоинств схемы, относящихся к характеру сходимости полученных по ней приближенных решений.
Такой же метод построения модельных уравнений может быть применен и в случаях систем уравнений и уравнений высших порядков.
На практике вычисление решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений без особенностей обычно производится по одной-двум довольно универсальным, хорошо апробированным схемам, для которых на современных вычислительных машинах имеются стандартные программы.
Если приходится с очень большой точностью решать задачи специального вида, то применяются многочисленные специальные схемы, приспособленные именно для этих задач, но уступающие универсальным схемам при решении другого круга задач.
