3. Необходимое условие устойчивости.

Теорема 1. Пусть хотя бы одна точка спектра семейства операторов лежит вне единичного круга комплексной плоскости, так что . В таком случае нельзя указать общую для всех h постоянную К такую, чтобы выполнялось неравенство

в котором пробегает целые значения от 0 до где при .

Доказательство. Допустим сначала, что не существует чисел таких, что при всех справедлива оценка

При этом допущении доказываемое утверждение очевидно. Поэтому остается рассмотреть случай, когда существуют такие, что при неравенство (8) справедливо.

Положим , где — та точка спектра, для которой Задавшись произвольно числом K, выберем так, чтобы выполнялись неравенства

По определению точки спектра семейства операторов можно указать сколь угодно малые положительные h, при которых существует вектор и являющийся решением неравенства

Положим

Ясно, что . Далее, из (10) можно вывести, что

Поскольку , то

а следовательно,

Число h во всем этом построении можно считать настолько малым, чтобы было меньше, чем

Ввиду произвольности К доказано наше утверждение о том, что расположение всех точек спектра семейства операторов внутри или на границе единичного круга необходимо для выполнения оценки .