3. Определение устойчивости.

Напомним и проиллюстрируем теперь определение устойчивости. Разностная краевая задача (2), по определению, устойчива, если существуют числа такие, что при любом и любом из удовлетворяющем неравенству разностная краевая задача

имеет одно и только одно решение, причем выполняется условие

где С — некоторая постоянная, не зависящая от Н.

В § 12, где введено понятие устойчивости, показано, что в случае линейного оператора сформулированное определение равносильно следующему.

Определение. Разностная краевая задача (2) устойчива, если существует такое, что при и любом она однозначно разрешима, причем

где С — некоторая постоянная, не зависящая от h и от

Свойство устойчивости можно трактовать как равномерную относительно h чувствительность решения разностной краевой задачи (2) к возмущениям правой части.

Подчеркнем, что в силу приведенного определения устойчивость есть некоторое внутреннее свойство разностной краевой задачи. Оно формулируется независимо от какой-либо связи с дифференциальной краевой задачей, в частности независимо от аппроксимации или сходимости.

Однако если разностная краевая задача аппроксимирует на решении и дифференциальную и устойчива, то имеет место сходимость (3). При этом порядок относительно h скорости сходимости совпадает с порядком аппроксимации.

Доказательство этой важной теоремы проведено в § 12. Покажем, что разностная схема (5) при устойчива. При этом норму определим равенством

Норму будем понимать, как выше: если

то

Разностную задачу

которая отличается от задачи (5) только тем, что, произвольные правые части, вообще говоря, не совпадающие с перепишем в форме

Поскольку то . В этом случае справедлива оценка

Используя эту оценку, выводим из (6) неравенство

Отметим, что в случае из неравенства следует, что не возрастает с ростом . Отмеченное свойство разностной схемы принято называть принципом максимума. Для краткости будем иногда пользоваться этим названием для всего неравенства

Правая часть этого неравенства не зависит от , так что в левой части вместо можно написать получив неравенство

Аналогично получаем неравенства

После почленного сложения этих неравенств и приведения подобных членов получим

Отсюда непосредственно следует

Доказанное неравенство

имеет место для всех , так что оно останется справедливым, если вместо написать

Неравенство (9) означает устойчивость линейной задачи (5), поскольку существование и единственность решения задачи (6) при произвольных ограниченных и очевидно, имеют место. Роль постоянной С в неравенстве (8) играет здесь число

Не следует думать, что одна только аппроксимация дифференциальной краевой задачи (1) разностной краевой задачей (2) обеспечивает устойчивость и, следовательно, сходимость (3). Мы убедились в этом в § 9 с помощью специально сконструированного примера аппроксимирующей, но расходящейся разностной схемы.

В случае уравнений с частными производными непригодность наудачу взятой аппроксимирующей разностной схемы является правилом, а выбор устойчивой следовательно, сходящейся) разностной схемы — постоянной заботой вычислителя.

Напомним, например, что доказательство устойчивости разностной схемы (5) мы провели в предположении, что . В случае разностная задача (5) по-прежнему аппроксимирует задачу (4), но наше доказательство устойчивости не проходит. Покажем, что в этом случае нет сходимости решения разностной задачи (5) к решению дифференциальной задачи (4), а значит, не может быть и устойчивости, так как устойчивость влечет за собою сходимость.

Пусть, для определенности, так что также пусть, далее, . Шаг h будем выбирать так чтобы точка (0, 1) на плоскости принадлежала сетке, т. е. чтобы число

было целым (рис. 9). В силу разностного уравнения имеем

Значение решения в точке (0, 1) сетки выражается, через значения и решения в точках сетки. Два значения выражаются через значения решения в трех точках сетки Значения решения свою очередь выражаются через значения решения в четырех точках и т. д.

В конечном счете значение выражается через значения решения в точках сетки . Все эти точки лежат на отрезке

прямой t = 0 (см. рис. 9), где задано начальное условие

для дифференциального уравнения. Таким образом, решение разностного уравнения в точке (0,1) сетки не зависит от значений функции в точках лежащих вне отрезка

Далее, решением задачи

как легко проверить, является функция

Она постоянна на каждой характеристике , в частности, на прямой которая проходит через точки (0, 1) и (1,0) (см. рис. 9), и в точке (0, 1) принимает значение Отсюда видно, что в случае сходимости, вообще говоря, быть не может. Действительно, в этом случае отрезок оси абсцисс

Рис. 9.

не содержит точку (1, 0). Если бы при какой-нибудь функции сходимость, случайно, имела место, то, не меняя значения на отрезке

и не меняя, таким образом, значения решения разностного уравнения в точке (0, 1), мы могли бы нарушить сходимость, изменив в точке и ее окрестности, что отразилось бы на значений решения дифференциального уравнения. Изменение в точке и ее окрестности можно внести так, чтобы не нарушить существования вторых производных функции и решения так что аппроксимация на решении и будет иметь место. В этих условиях из устойчивости схемы (5) вытекала бы сходимость. Но поскольку при нет сходимости, то нет и устойчивости.

Проведенное доказательство неустойчивости разностной схемы (5) носит косвенный характер. Интересно проследить непосредственно, как сказывается неустойчивость при разностной схемы (5) на чувствительности решения ошибкам при задании Ведь именно равномерная относительно h чувствительность решения к ошибкам при задании и определена выше как устойчивость.

Допустим, что при всех h выполняются тождества так что

и решение задачи (5) есть тождественный нуль, Допустим, далее, что при задании начальных данных допущена ошибка и вместо задано так что вместо

задано

Будем обозначать получающееся при этом решение через В силу уравнений

для получим

Мы видим, что допущенная при ошибка умножилась на число . При переходе к получим

Вообще

При будет так что ошибка

при переходе от одного слоя сетки к следующему умножается на отрицательное число, превосходящее единицу по модулю. При будет

Отсюда

При фиксированном первоначально допущенная в начальных данных ошибка увеличивается в очень быстро возрастающее при число раз, равное

Остановимся теперь кратко на критике принятого нами способа оценки качества аппроксимации сравнением величины нормы невязки с той или иной степенью h. Как мы внаем, для устойчивых схем порядок аппроксимации совпадает С порядком погрешности в решении. Качество схемы Естественно оценивать по количеству вычислительной работы. Необходимой для получения заданной точности. Количество же работы, вообще говоря, пропорционально числу точек N использованной разностной сетки. Для обыкновенных дифференциальных уравнений N пропорционально шагу h. Поэтому, когда мы говорим, что погрешность мы тем самым утверждаем, что в т. е. что уменьшение погрешности вдвое требует увеличения работы в у 2 раз. Таким образом, в случае обыкновенных разностных уравнений порядок аппроксимации относительно h характеризует объем работы.

Для уравнений с частными производными дело обстоит уже не так. В рассмотренном нами примере задачи с двумя

переменными и t сетка задается двумя шагами . Число N точек сетки, помещающихся в ограниченной области на плоскости имеет порядок . Это число также может применяться для оценки количества работы, затрачиваемой при решении разностных уравнений. Пусть . В этом случае утверждение, что эквивалентно утверждению . Если , то и утверждение эквивалентно тому, что

Мы видим, что в случае уравнений с частными производными «порядок погрешности естественнее было бы измерять не в степенях а в степенях Мы все же остановимся на описанном выше способе оценки аппроксимации степенями h, так как это удобнее при проведении выкладок. Читатель, однако, должен при оценке качества разностных схем иметь в виду отмеченное обстоятельство.

Надо еще заметить, что утверждение о пропорциональности вычислительной работы числу N точек сетки тоже не всегда является верным. Можно привести примеры разностных схем, для вычисления решения по которым требуется произвести арифметических операций, где или даже 2. С этим приходится встречаться при решении разностных краевых задач, аппроксимирующих эллиптические уравнения, или при решении задач в случае трех и более независимых переменных (например, ). В многомерном случае построение разностных схем, для вычисления решения по которым арифметических операций, является непростой задачей, о которой будет идти речь в §§ 31, 32.

При реальных расчетах на вычислительной машине для сравнительной оценки используемых алгоритмов за меру качества схемы обычно естественно принять машинное время. Машинное время не обязательно пропорционально числу арифметических действий.

Играют роль, иногда превалирующую, затраты времени на пересылку информации из одного блока машинной памяти в другой. Может играть роль время, расходуемое на логические операции.