Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
3. Определение устойчивости.Напомним и проиллюстрируем теперь определение устойчивости. Разностная краевая задача (2), по определению, устойчива, если существуют числа
имеет одно и только одно решение, причем выполняется условие
где С — некоторая постоянная, не зависящая от Н. В § 12, где введено понятие устойчивости, показано, что в случае линейного оператора Определение. Разностная краевая задача (2) устойчива, если существует
где С — некоторая постоянная, не зависящая от h и от Свойство устойчивости можно трактовать как равномерную относительно h чувствительность решения разностной краевой задачи (2) к возмущениям Подчеркнем, что в силу приведенного определения устойчивость есть некоторое внутреннее свойство разностной краевой задачи. Оно формулируется независимо от какой-либо связи с дифференциальной краевой задачей, в частности независимо от аппроксимации или сходимости. Однако если разностная краевая задача аппроксимирует на решении и дифференциальную и устойчива, то имеет место сходимость (3). При этом порядок относительно h скорости сходимости совпадает с порядком аппроксимации. Доказательство этой важной теоремы проведено в § 12. Покажем, что разностная схема (5) при
Норму
то
Разностную задачу
которая отличается от задачи (5) только тем, что,
Поскольку
Используя эту оценку, выводим из (6) неравенство
Отметим, что в случае
Правая часть этого неравенства не зависит от
Аналогично получаем неравенства
После почленного сложения этих неравенств и приведения подобных членов получим
Отсюда непосредственно следует
Доказанное неравенство
имеет место для всех
Неравенство (9) означает устойчивость линейной задачи (5), поскольку существование и единственность решения задачи (6) при произвольных ограниченных Не следует думать, что одна только аппроксимация дифференциальной краевой задачи (1) разностной краевой задачей (2) обеспечивает устойчивость и, следовательно, сходимость (3). Мы убедились в этом в § 9 с помощью специально сконструированного примера аппроксимирующей, но расходящейся разностной схемы. В случае уравнений с частными производными непригодность наудачу взятой аппроксимирующей разностной схемы является правилом, а выбор устойчивой Напомним, например, что доказательство устойчивости разностной схемы (5) мы провели в предположении, что Пусть, для определенности,
было целым (рис. 9). В силу разностного уравнения имеем
Значение В конечном счете значение
прямой t = 0 (см. рис. 9), где задано начальное условие
для дифференциального уравнения. Таким образом, решение разностного уравнения в точке (0,1) сетки не зависит от значений функции
Далее, решением задачи
как легко проверить, является функция
Она постоянна на каждой характеристике
Рис. 9. не содержит точку (1, 0). Если бы при какой-нибудь функции
и не меняя, таким образом, значения решения разностного уравнения в точке (0, 1), мы могли бы нарушить сходимость, изменив Проведенное доказательство неустойчивости разностной схемы (5) носит косвенный характер. Интересно проследить непосредственно, как сказывается неустойчивость при Допустим, что при всех h выполняются тождества
и решение
задано
Будем обозначать получающееся при этом решение через В силу уравнений
для
Мы видим, что допущенная при
Вообще
При
при переходе от одного слоя
Отсюда
При фиксированном Остановимся теперь кратко на критике принятого нами способа оценки качества аппроксимации сравнением величины нормы невязки Для уравнений с частными производными дело обстоит уже не так. В рассмотренном нами примере задачи с двумя переменными Мы видим, что в случае уравнений с частными производными «порядок погрешности естественнее было бы измерять не в степенях Надо еще заметить, что утверждение о пропорциональности вычислительной работы числу N точек сетки тоже не всегда является верным. Можно привести примеры разностных схем, для вычисления решения по которым требуется произвести При реальных расчетах на вычислительной машине для сравнительной оценки используемых алгоритмов за меру качества схемы обычно естественно принять машинное время. Машинное время не обязательно пропорционально числу арифметических действий. Играют роль, иногда превалирующую, затраты времени на пересылку информации из одного блока машинной памяти в другой. Может играть роль время, расходуемое на логические операции.
|
1 |
Оглавление
|