Главная > Разностные схемы
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

ГЛАВА 12. ПОНЯТИЕ О ВАРИАЦИОННО-РАЗНОСТНЫХ И ПРОЕКЦИОННО-РАЗНОСТНЫХ СХЕМАХ

В этой главе мы изложим способ построения разностных схем, основанный на использовании той или иной вариационной или проекционной постановки краевой задачи, решение которой требуется численно найти. Этот способ, называемый иногда методом конечных элементов, позволяет строить пригодные разностные схемы на нерегулярных сетках, а также при меньших предположениях о гладкости искомого решения и коэффициентов уравнения. Благодаря появляющейся свободе в выборе сеток узлы можно располагать гуще в тех частях области определения искомого решения, где решение ведет себя более сложно или где нас интересуют более мелкие детали его поведения.

Возможность целесообразно располагать узлы позволяет достигать требуемой точности при меньшем числе узлов сетки.

Метод конечных элементов можно интерпретировать как одну из возможных конкретизаций классических вариационных методов решения краевых задач. Поэтому мы сначала (§ 38) расскажем о классических вариационном и проекционном методах, а затем (§ 39) о вариационно-разностных схемах.

§ 38. Вариационные и проекционные методы

1. Вариационная постановка краевых задач.

Многие дифференциальные краевые задачи математической физики допускают естественные вариационные постановки.

Мы ограничимся рассмотрением двух простых примеров таких задач и их вариационных постановок, иллюстрирующих, однако, суть дела. В этих примерах речь пойдет о различных краевых задачах для уравнения Пуассона в некоторой ограниченной области D плоскости х, у с кусочно-гладкой границей Г.

Обозначим через W линейное пространство всех непрерывных в области D и на ее границе Г функций, обладающих также

ограниченными производными первого порядка, которые могут иметь разрывы лишь на конечном множестве прямых (для каждой функции w(x,y) - своих). Введем в линейном пространстве W норму, положив для каждой функции

Пополнение пространства W приводит к полному пространству С. Л. Соболева.

Переходим к рассмотрению примеров.

Пример 1. Рассмотрим первую краевую задачу (задачу Дирихле)

где s - длина дуги вдоль границы Г области заданные функции, удовлетворяющие всем условиям того, чтобы решение задачи (А) имело непрерывные вторые производные всюду в области D и на ее границе Г.

Теорема 1. Среди всех функций удовлетворяющих граничному условию

решение задачи (А) придает выражению (функционалу)

наименьшее численное значение.

Доказательство. Пусть некоторая фиксированная функция. Введем обозначение так что

Поскольку имеет непрерывные вторые производные, а , то также причем . Докажем равенство

из которого следует справедливость теоремы, поскольку в случае функция не обращается тождественно в нуль, так что второе слагаемое в правой части формулы

(4) строго положительно, и . Очевидно,

Остается проверить, что третье слагаемое в правой части обращается в нуль. Действительно, из очевидных тождеств

следует

где производная по внутренней нормали.

В предпоследнем переходе в цепочке равенств (6) мы воспользовались теоремой из векторного анализа, в силу которой интеграл от дивергенции векторного поля по области равен потоку этого векторного поля через границу области. В данном случае этот поток обращается в нуль, так как

Теорема доказана.

Таким образом, задача (А) допускает следующую вариационную постановку: среди всех функций класса W, удовлетворяющих условию (2), найти ту, которая придает наименьшее значение функционалу определенному формулой (3).

Пример 2. Рассмотрим третью краевую задачу

где — заданные фунции, производная в направлении внутренней нормали.

Теорема 2. Среди всех функций решение v задачи (В) придает функционалу

наименьшее значение.

Доказательство. Пусть - какая-нибудь фиксированная функция. Обозначим

Докажем равенство

из которого следует, что в случае , т. е. выполнено неравенство справедливость которого утверждается в теореме.

Очевидно,

Остается показать, что выражение, стоящее в правой части (9) во вторых фигурных скобках, обращается в нуль. Действительно, преобразовывая двойной интеграл в этом выражении аналогично (6), получим

поскольку . Теорема доказана.

Таким образом, третья краевая задача для уравнения Пуассона (В) допускает следующую вариационную постановку: среди всех функций найти ту, которая придает наименьшее значение функционалу введенному равенством (7).

Обратим внимание на то, что различие в вариационных постановках краевых задач (А) и (В) не исчерпывается различием в функционалах При минимизации функционала допустимыми считаются все функции , а при минимизации функционала лишь те функции , которые удовлетворяют краевому условию задачи (А).

Это различие дало повод называть краевое условие задачи (В) естественным, поскольку при вариационной постановке оно не накладывает никаких ограничений на. допустимые функции.

1
Оглавление
email@scask.ru