ГЛАВА 12. ПОНЯТИЕ О ВАРИАЦИОННО-РАЗНОСТНЫХ И ПРОЕКЦИОННО-РАЗНОСТНЫХ СХЕМАХ

В этой главе мы изложим способ построения разностных схем, основанный на использовании той или иной вариационной или проекционной постановки краевой задачи, решение которой требуется численно найти. Этот способ, называемый иногда методом конечных элементов, позволяет строить пригодные разностные схемы на нерегулярных сетках, а также при меньших предположениях о гладкости искомого решения и коэффициентов уравнения. Благодаря появляющейся свободе в выборе сеток узлы можно располагать гуще в тех частях области определения искомого решения, где решение ведет себя более сложно или где нас интересуют более мелкие детали его поведения.

Возможность целесообразно располагать узлы позволяет достигать требуемой точности при меньшем числе узлов сетки.

Метод конечных элементов можно интерпретировать как одну из возможных конкретизаций классических вариационных методов решения краевых задач. Поэтому мы сначала (§ 38) расскажем о классических вариационном и проекционном методах, а затем (§ 39) о вариационно-разностных схемах.

§ 38. Вариационные и проекционные методы

1. Вариационная постановка краевых задач.

Многие дифференциальные краевые задачи математической физики допускают естественные вариационные постановки.

Мы ограничимся рассмотрением двух простых примеров таких задач и их вариационных постановок, иллюстрирующих, однако, суть дела. В этих примерах речь пойдет о различных краевых задачах для уравнения Пуассона в некоторой ограниченной области D плоскости х, у с кусочно-гладкой границей Г.

Обозначим через W линейное пространство всех непрерывных в области D и на ее границе Г функций, обладающих также

ограниченными производными первого порядка, которые могут иметь разрывы лишь на конечном множестве прямых (для каждой функции w(x,y) - своих). Введем в линейном пространстве W норму, положив для каждой функции

Пополнение пространства W приводит к полному пространству С. Л. Соболева.

Переходим к рассмотрению примеров.

Пример 1. Рассмотрим первую краевую задачу (задачу Дирихле)

где s - длина дуги вдоль границы Г области заданные функции, удовлетворяющие всем условиям того, чтобы решение задачи (А) имело непрерывные вторые производные всюду в области D и на ее границе Г.

Теорема 1. Среди всех функций удовлетворяющих граничному условию

решение задачи (А) придает выражению (функционалу)

наименьшее численное значение.

Доказательство. Пусть некоторая фиксированная функция. Введем обозначение так что

Поскольку имеет непрерывные вторые производные, а , то также причем . Докажем равенство

из которого следует справедливость теоремы, поскольку в случае функция не обращается тождественно в нуль, так что второе слагаемое в правой части формулы

(4) строго положительно, и . Очевидно,

Остается проверить, что третье слагаемое в правой части обращается в нуль. Действительно, из очевидных тождеств

следует

где — производная по внутренней нормали.

В предпоследнем переходе в цепочке равенств (6) мы воспользовались теоремой из векторного анализа, в силу которой интеграл от дивергенции векторного поля по области равен потоку этого векторного поля через границу области. В данном случае этот поток обращается в нуль, так как

Теорема доказана.

Таким образом, задача (А) допускает следующую вариационную постановку: среди всех функций класса W, удовлетворяющих условию (2), найти ту, которая придает наименьшее значение функционалу определенному формулой (3).

Пример 2. Рассмотрим третью краевую задачу

где — заданные фунции, — производная в направлении внутренней нормали.

Теорема 2. Среди всех функций решение v задачи (В) придает функционалу

наименьшее значение.

Доказательство. Пусть - какая-нибудь фиксированная функция. Обозначим

Докажем равенство

из которого следует, что в случае , т. е. выполнено неравенство справедливость которого утверждается в теореме.

Очевидно,

Остается показать, что выражение, стоящее в правой части (9) во вторых фигурных скобках, обращается в нуль. Действительно, преобразовывая двойной интеграл в этом выражении аналогично (6), получим

поскольку . Теорема доказана.

Таким образом, третья краевая задача для уравнения Пуассона (В) допускает следующую вариационную постановку: среди всех функций найти ту, которая придает наименьшее значение функционалу введенному равенством (7).

Обратим внимание на то, что различие в вариационных постановках краевых задач (А) и (В) не исчерпывается различием в функционалах При минимизации функционала допустимыми считаются все функции , а при минимизации функционала лишь те функции , которые удовлетворяют краевому условию задачи (А).

Это различие дало повод называть краевое условие задачи (В) естественным, поскольку при вариационной постановке оно не накладывает никаких ограничений на. допустимые функции.