Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
ГЛАВА 12. ПОНЯТИЕ О ВАРИАЦИОННО-РАЗНОСТНЫХ И ПРОЕКЦИОННО-РАЗНОСТНЫХ СХЕМАХВ этой главе мы изложим способ построения разностных схем, основанный на использовании той или иной вариационной или проекционной постановки краевой задачи, решение которой требуется численно найти. Этот способ, называемый иногда методом конечных элементов, позволяет строить пригодные разностные схемы на нерегулярных сетках, а также при меньших предположениях о гладкости искомого решения и коэффициентов уравнения. Благодаря появляющейся свободе в выборе сеток узлы можно располагать гуще в тех частях области определения искомого решения, где решение ведет себя более сложно или где нас интересуют более мелкие детали его поведения. Возможность целесообразно располагать узлы позволяет достигать требуемой точности при меньшем числе узлов сетки. Метод конечных элементов можно интерпретировать как одну из возможных конкретизаций классических вариационных методов решения краевых задач. Поэтому мы сначала (§ 38) расскажем о классических вариационном и проекционном методах, а затем (§ 39) о вариационно-разностных схемах. § 38. Вариационные и проекционные методы1. Вариационная постановка краевых задач.Многие дифференциальные краевые задачи математической физики допускают естественные вариационные постановки. Мы ограничимся рассмотрением двух простых примеров таких задач и их вариационных постановок, иллюстрирующих, однако, суть дела. В этих примерах речь пойдет о различных краевых задачах для уравнения Пуассона в некоторой ограниченной области D плоскости х, у с кусочно-гладкой границей Г. Обозначим через W линейное пространство всех непрерывных в области D и на ее границе Г функций, обладающих также ограниченными производными первого порядка, которые могут иметь разрывы лишь на конечном множестве прямых (для каждой функции w(x,y) - своих). Введем в линейном пространстве W норму, положив для каждой функции
Пополнение пространства W приводит к полному пространству Переходим к рассмотрению примеров. Пример 1. Рассмотрим первую краевую задачу (задачу Дирихле)
где s - длина дуги вдоль границы Г области Теорема 1. Среди всех функций
решение
наименьшее численное значение. Доказательство. Пусть
Поскольку
из которого следует справедливость теоремы, поскольку в случае (4) строго положительно, и
Остается проверить, что третье слагаемое в правой части обращается в нуль. Действительно, из очевидных тождеств
следует
где В предпоследнем переходе в цепочке равенств (6) мы воспользовались теоремой из векторного анализа, в силу которой интеграл от дивергенции векторного поля по области равен потоку этого векторного поля через границу области. В данном случае этот поток Теорема доказана. Таким образом, задача (А) допускает следующую вариационную постановку: среди всех функций класса W, удовлетворяющих условию (2), найти ту, которая придает наименьшее значение функционалу Пример 2. Рассмотрим третью краевую задачу
где Теорема 2. Среди всех функций
наименьшее значение. Доказательство. Пусть
Докажем равенство
из которого следует, что в случае Очевидно,
Остается показать, что выражение, стоящее в правой части (9) во вторых фигурных скобках, обращается в нуль. Действительно, преобразовывая двойной интеграл в этом выражении аналогично (6), получим
поскольку Таким образом, третья краевая задача для уравнения Пуассона (В) допускает следующую вариационную постановку: среди всех функций Обратим внимание на то, что различие в вариационных постановках краевых задач (А) и (В) не исчерпывается различием в функционалах Это различие дало повод называть краевое условие задачи (В) естественным, поскольку при вариационной постановке оно не накладывает никаких ограничений на. допустимые функции.
|
1 |
Оглавление
|