§ 46. Ядра спектров семейств операторов

Пусть отображает линейное нормированное пространство некоторой размерности в себя. Будем писать вместо и U соответственно чтобы в Обозначениях была ябно указана размерность. Предполагается, что при

Здесь мы обсудим вопрос о том, насколько спектр семейства операторов зависит от выбора последовательности норм в пространствах и, тем самым, насколько инвариантен спектральный признак ограниченности норм степеней оператора (теорема 1 из § 44) относительно выбора норм.

Относительно семейства операторов будем предполагать, что собственные числа всех операторов ограничены в совокупности, т. е. лежат в некотором круге

Очевидно, что для выполнения условия (1) достаточно, чтобы существовала хотя бы одна последовательность норм такая, чтобы выполнялись неравенства Отсюда видно, что ограничение (1) естественно: оно выполняется для семейств операторов перехода со слоя на слой, возникающих при рассмотрении эволюционных разностных краевых задач. Переходим к определению понятия ядра спектра, с помощью которого и будут сформулированы результаты этого параграфа.

Пусть заданы: какая-либо последовательность норм , число и целое . Обозначим чере множество точек , для которых неравенство и имеет решение Значок N при написании норм мы опускаем.

Определение. Ядром показателя а семейства операторов назовем следующее множество на комплексной плоскости:

Здесь

есть теоретико-множественное замыкание объединения множеств при всех пересечение всех множеств пересечение всех множеств

Теорема 1. Ядро целиком содержится в. спектре семейства операторов и замкнуто.

Доказательство. Покажем, что если точка не принадлежит спектру семейства операторов то она не принадлежит и ядру. Действительно, найдутся такие, что при всех для любого и выполнено неравенство Но тогда для всех из круга выполненотакже неравенство Ввиду этого при ни одно множество не содержит точек в круге Отсюда следует справедливость первого утверждения теоремы. Для доказательства замкнутости ядра заметим, что замкнуты по построению, а множества как пересечения замкнутых множеств.

Пример. Вычислим ядро для семейства операторов если оператор задан равенствами

а норма — равенством

Покажем, что состоит из точки и из замкнутого круга радиуса с центром в точке :

Действительно, как мы видели в п. 1 § 42, является собственным числом для всёх операторов , а потому принадлежит всем множествам и, следовательно, ядру. Далее, для любого лежащего строго внутри круга (3), при некоторых вещественном а О и имеет место представление

Неравенство при любом фиксированном k и всех достаточно больших N имеет решение

Следовательно, при всех достаточно больших N множества содержат точку а значит, ее содержит и . Итак, внутренние точки круга (3) принадлежат ядру а ввиду замкнутости ядра ему принадлежит и граница круга (3).

Если точка не принадлежит кругу (3), т. е.

то, выписав функцию Грина разностного уравнения первого порядка (§ 2), можно установить, что при любом из круга при всех достаточно больших N и всех и выполнено неравенство Отсюда следует, что точки этого круга не принадлежат если N достаточно велико, а следовательно, и не принадлежат ни замыканию их объединений ни ядру

Заметим, что ядро показателя в рассмотренном примере состоит из двух точек , а ядро совпадает со всем спектром семейства операторов который был вычислен в § 45.

На этом закончим рассмотрение примера и вернемся к общим построениям.

Определение. Ядро назовем абсолютным ядром.

Теорема 2. Абсолютное ядро семейства операторов не зависит от выбора последовательности норм

Доказательство следует из того факта, что при множество совпадает при каждом N с множеством собственных значений оператора которое не зависит от нормы в пространстве

Теорема 3. При условии (1) последовательность норм всегда можно выбрать так, чтобы спектр семейства операторов совпадал со своим абсолютным ядром.

Доказательство. Укажем конструкцию норм, существование которых утверждается в теореме. Выберем базис в пространстве так, чтобы матрица преобразования в этом базисе была жордановой и модули всех внедиагональных членов были меньше чем Введем скалярное умножение и порожденную им норму, объявив этот базис ортонормальным. Если произвольная точка, не принадлежащая расстояние от этой

точки до замкнутого в силу теоремы 1 множества то можно проверить, что при всех всех так что U не принадлежит спектру семейства операторов

Итак, если спектр семейства операторов не совпадает со своим ядром показателя при заданном выборе норм, как это имеет место в рассмотренном выше примере при норме то за счет выбора другой последовательности норм можно получить в качестве спектра более узкое множество

Однако в теории разностных схем используются не вполне произвольные нормы.

Обозначим через норму, равную максимуму абсолютных величии всех компонент, образующих сеточную функцию (или вектор-функцию) из . Выделим класс последовательностей норм для которых существует натуральное s, зависящее от последовательности, и такое, что при всех достаточно больших N справедливо неравенство

Очевидно, что сама норма и все встречавшиеся нам в связи с разностными уравнениями нормы при возрастающем N образуют последовательности из указанного класса (4).

Теорема 4. Ядро показателя а не зависит от выбора последовательности норм из числа удовлетворяющих требованию (4).

Доказательство непосредственно следует из определений.

Рассмотрим теперь семейство операторов определенных равенствами (18) и (19) из § 45, предположив дополнительно, что матричные коэффициенты постоянны: Для этого семейства операторов справедлива следующая важная

Теорема 5 (А. В. Соколов). Если в пространствах где действуют операторы введены нормы то ядро показателя спектра семейства операторов совпадает со всем спектром этого семейства операторов.

Из этой теоремы и теоремы 4 следует, что при любом выборе последовательности норм из класса норм, удовлетворяющих условию (4), спектр семейства операторов содержит спектр семейства операторов полученного при использовании способ вычисления которого описан в п. 2 § 45. Поэтому если не выполнено спектральное условие ограниченности норм степеней операторов (теорема 1 из § 44) при выборе норм то оно не выполнено и при любом другом выборе последовательности норм из числа удовлетворяющих условию (4).

Доказательство теоремы А. В. Соколова требует сложного исследования, и мы его не излагаем.