ГЛАВА 3. ОБОСНОВАНИЕ МЕТОДА ПРОГОНКИ

§ 6. Свойства хорошо обусловленных краевых задач

Здесь мы докажем сформулированный в п. 5 § 4 признак хорошей обусловленности разностной краевой задачи вида

и установим некоторые свойства хорошо обусловленных разностных краевых задач с тем, чтобы воспользоваться этими свойствами в § 7 для обоснования алгоритма прогонки.

1. Оценки решений краевой задачи с возмущенными коэффициентами.

Рассмотрим задачу вида (1):

где — какие-нибудь целые числа. То обстоятельство, что мы нумеруем компоненты решения номерами от до q, а не от 0 до N, непринципиально, но окажется удобным в дальнейшем. Относительно коэффициентов будем предполагать, что они ограничены в совокупности: не зависит от N и п.

Пусть задача (1') разрешима при произвольных причем числа образующие решение, удовлетворяют неравенствам

где — некоторые положительные постоянные,

Рассмотрим задачу

Если предполагать, что возмущения коэффициентов не слишком сильные, а именно:

то возмущенная система (3) будет обладать следующими четырьмя свойствами:

1° Задача (3) будет иметь решение при любых правых частях.

2° Рещение будет удовлетворять оценке вида (2), но с заменой соответственно на

3° Коэффициенты будут удовлетворять оценкам

4° Решения будут мало отличаться друг от друга, а именно:

Свойство 3° очевидно. Докажем свойство 2°, а из него выведем свойство 1°. Предположим, что система (3) разрешима при некоторых правых частях. Фиксировав эти правые части, обозначим

и получим для неравенство

Для этого перепишем (3) следующим образом:

Из этой записи и из оценок (2) и (4) вытекает неравенство

Решая последнее неравенство относительно получим (7), из которого следует (5).

Из неравенства (5) следует, что однородная система, соответствующая задаче (3) и возникающая при имеет только нулевое решение . Поэтому определитель системы (3) отличен от нуля, и задача (3) однозначно разрешима при произвольных правых частях. Свойства 1° и 2° доказаны. Осталось доказать свойство 4°, т. е. неравенство (6). Вычитая почленно из равенств (8) равенства (1), получим

Применим (2):

Воспользовавшись (4) и (5), отсюда выводим

т. е. неравенство (6).

Рассмотрим теперь задачу, которая получена из (1) возмущением не только коэффициентов, но и правых частей:

Можно показать, что

Наметим только схему доказательства, которое легко провести по этой схеме.

Изменив сначала только правые части и оставив старые коэффициенты, с помощью (2) увидим, что каждое изменится не более чем на

Изменив затем в системе с измененными правыми частями коэффициенты, убедимся, что в силу свойства 4° компоненты дополнительно изменятся на величины, не превосходящие

что и приведет к оценке (10).

Выведем из описанных нами следствий неравенства (2) еще одно. А именно, пусть для решений системы (Г) имеет место при некотором оценка

Тогда для решения возмущенной системы

удовлетворяющей условиям

верно при тех же условиях неравенство

Чтобы убедиться в этом, определим вспомогательную сеточную функцию как решение системы

При будет

Затем применим для оценки неравенство (10), из которого следует, с учетом (11), что

Принимая во внимание оценку (13), отсюда сразу получаем неравенство (12).

Замечание. Важно подчеркнуть, что величина в оценках (4), в пределах которой можно возмущать коэффициенты исхддной задачи, не нарушая разрешимости, а также коэффициенты в оценке (5) решения возмущенной задачи и в оценках (6) и (10) отклонения решения возмущенной задачи от решения невозмущенной задачи — все эти числа зависят только от коэффициентов в оценке (2). Конкретные значения коэффициентов разностного уравнения и число точек сами по себе роли не играют: их влияние сказывается только через константы при которых справедлива оценка (2).