ГЛАВА 6. УПОТРЕБИТЕЛЬНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ

§ 19. Схемы Рунге — Кутта и Адамса

Изложим здесь некоторые употребительные разностные схемы решения задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка

В конце параграфа эти схемы будут перенесены на системы дифференциальных уравнений первого порядка, к которым сводится общий случай уравнений и систем любого порядка. Выберем на отрезке сетку точек

и будем составлять разностные схемы для приближенного отыскания таблицы значений решения на выбранной сетке.

С простейшей употребительной схемой мы уже встречались. Это — схема Эйлера

обладающая первым порядком аппроксимации (и точности).

Вычисления по этой схеме имеют простой геометрический смысл. Если «п уже вычислено, то вычисление

равносильно сдвигу из точки в точку на плоскости по касательной к интегральной кривой дифференциального уравнения , проходящей через точку

Среди схем более высокого порядка аппроксимации наиболее употребительны различные варианты схем Рунге—Кутта и Адамса, которые мы опишем и сопоставим.

1. Схемы Рунге—Кутта.

Пусть значение приближенного решения в точке уже найдено и требуется вычислить в точке Задаем целое l и выписываем выражения

Затем прлагаем

Коэффициенты подбираем так, чтобы получить при заданном l аппроксимацию возможно более высокого порядка. Зная можно вычислить , а затем

Простейшей схемой Рунге — Кутта является схема Эйлера .

Схема Рунге — Кутта

где

имеет четвертый порядок аппроксимации.

Схема Рунге — Кутта

где

при любом фиксированном а имеет второй порядок аппроксимации. Мы докажем только утверждение о схеме (4). Доказательство утверждения о схеме (3) аналогично, но более громоздко.

Решение уравнения удовлетворяет тождествам

Поэтому из формулы Тейлора

для решения и следует равенство

Но, разлагая по А функцию переменных по формуле Тейлора и удерживая члены первой степени, получим

Поэтому при подстановке в левую часть равенства (4) вместо соответственно значений решения получится выражение, совпадающее с левой частью равенства (5) с точностью до . Следовательно, это выражение имеет второй порядок относительно . Поскольку значение задано точно, этим завершается доказательство того, что схема (4) имеет второй порядок аппроксимации.

Для получения по схеме Рунге — Кутта при уже известном приходится l раз вычислять значения функции . Эти значения больше не используются.