ЧАСТЬ ЧЕТВЕРТАЯ. ЗАДАЧИ С ДВУМЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ

ГЛАВА 10. ПОНЯТИЕ О РАЗНОСТНЫХ СХЕМАХ РАСЩЕПЛЕНИЯ

Разностные схемы расщепления — одно из важных средств при расчете решений многомерных нестационарных задач математической физики.

§ 31. Конструкция схем расщепления

На описательном уровне идею конструкции схем расщепления можно изложить так.

Рассмотрим дифференциальную задачу вида

где А — некоторый оператор по пространственным переменным, например:

Значения по уже известным значениям , выразим формулой (где Е — единичный оператор, )

Допустим, что правая часть уравнения (1) имеет вид

Тогда расщепим уравнение (1)

на следующие два:

Заметим, что

В самом деле,

Далее, с учетом последнего равенства имеем

Равенство (4) и дает основание на каждом интервале времени вместо задачи (1) последовательно решать задачи (2) и (3).

Для фактического решения уравнений (2) и (3) формально аппроксимируем эти уравнения какими-либо разностными. Тогда возникает некоторая разностная схема расщепления позволяющая в два. этапа вычислить по уже известному (первый этап — вычисление по заданному , а второй — вычисление по уже вычисленному на первом этапе ).

Высказанные соображения носят эвристический характер. После того как разностная схема расщепления

для численного решения задачи (1) построена, надо как-либо проверить ее аппроксимацию и устойчивость.

В случае задачи Коши для двумерного уравнения теплопроводности

в качестве системы (2), (3) можно взять, например,

Указанное расщепление двумерного уравнения из задачи (6) на два одномерных уравнения (7) можно истолковать как приближенную замену процесса распространения тепла по плоскости за время на два процесса. В первом из них, который описывается первым уравнением (7), вводятся (мысленно) теплонепроницаемые перегородки, препятствующие распространению тепла в направлении оси

Рис. 40.

Рис. 41

Затем, по прошествии времени , взамен этих перегородок вводятся перегородки, препятствующие распространению тепла в направлении оси Ох. Тогда распространение тепла, снова в течение времени , описывается вторым уравнением.

Выберем сетку .

Разностную схему расщепления, отправляясь от (7), можно построить многими способами. Укажем два из них:

и

В обеих этих схемах расщепления положим

Напомним обозначения , которые нам уже встречались:

Схему (8) поясняет рис. 40, схему (9) — рис. 41.

Самое расщепление задачи (6) тоже неединственно.

Задачу (6) можно записать, например, так:

и поставить ей в соответствие на отрезке следующие две системы:

и

Такое расщепление не есть расщепление по физическим соображениям, как в схеме (7). Разностную схему выберем так (рис. 42):

Для вычисления по схеме (12) переменных направлений надо сначала при каждом фиксированном решить неявное уравнение для , в которое входит как параметр. Потом для вычисления надо решить второе уравнение (12), неявное относительно в которое входит как параметр.

Рис. 42.

Схему можно записать в виде (5), если положить

где определяется из первого уравнения (8). Тогда

Предоставим читателю записать схемы (9) и (12) в виде (5). Читатель может проверить, что спектральный признак устойчивости Наймана, состоящий в ограниченности решений вида выполнен для схемы (8) при , а для схем (9) и (12) при любом . Мы не будем останавливаться на исследовании условий устойчивости и доказательстве аппроксимации схем (8), (9) и (12).

ЗАДАЧИ

1. Исследовать, при каких выполнен спектральный признак Неймана для разностных схем расщепления (8), (9) и (12), приведенных в этом параграфе.

2. Проверить, что схема (8) аппроксимирует задачу (6) на достаточно гладком ограниченном решении

То же, что и в задаче 2, но для разностных схем расщепления (9) и (12).