ГЛАВА 8. НЕКОТОРЫЕ ОСНОВНЫЕ ПРИЕМЫ ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ
§ 25. Спектральный анализ разностной задачи Коши
Мы изложим широко применяемый способ Неймана исследования разностных задач с начальными данными. В этом параграфе ограничимся случаем разностной задачи Коши с постоянными коэффициентами, а в § 26 частично распространим результаты на случай переменных коэффициентов.
1. Устойчивость по начальным данным.
Простейшим примером разностной задачи Коши может служить неоднократно встречавшаяся выше задача
Положив
запишем задачу (1) в форме
Определим нормы 
равенствами
Тогда условие устойчивости задачи (2)
примет вид
где с не зависит от h (и от 
). Условие (4) должно выполняться при произвольных 
. В частности, для устойчивости необходимо, чтобы оно выполнялось при произвольных 
, т. е. чтобы решение задачи
удовлетворяло условию
При произвольной ограниченной функции 
Свойство (6), необходимое для устойчивости (4) задачи (1), называют устойчивостью задачи (1) относительно возмущения начальных данных. Оно означает, что возмущение 
внесенное в начальные данные задачи (1), вызовет возмущение 
решения задачи (1), которое в силу (6) не более чем в с раз превосходит возмущение начальных данных, причем с не зависит от h.
