Главная > Разностные схемы
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

3. Дивергентные разностные схемы.

Разностные схемы, не использующие искусственно введенную вязкость и не использующие

условия на разрыве, как было выяснено, должны опираться на интегральные законы сохранения.

Проведем на плоскости сетку прямых . Отметим на сторонах возникающих прямоугольников их середины (рис. 37) и отнесем их к сетке (оси координат на рисунке не показаны).

Искомой функцией будем считать сеточную функцию, определенную в точках сетки путем усреднения решения по той стороне сеточного прямоугольничка, которому принадлежит рассматриваемая точка сетки:

Приближенное решение задачи определено на той же сетке . Значения в точках лежащих на горизонтальных сторонах прямоугольничков, будем обозначать , а в точках вертикальных сторон — через

Величину можно считать продолженной на всю сторону прямоугольничка, которому принадлежит точка Аналогично будем считать, что определена на всем вертикальном промежутке

Таким образом, и будет функцией, определенной на прямых . Связь между величиной, , установим, исходя из интегрального закона сохранения

Рассмотрим в качестве контура Г элементарный прямоугольник сетки и положим

или в развернутом виде

Если будет указано правило вычисления величин по уже известным величинам , то формула (7) позволяет вычислить величины , т. е. продвинуться на один шаг по времени. Однако независимо от конкретного способа, который мы изберем для вычисления величины разностная схема вида (7) обладает свойством дивергентности, которое состоит в следующем. Проведем в полуплоскости какой-либо замкнутый несамопересекающийся контур, целиком состоящий из сторон сеточных прямоугольников (рис. 38).

Рис. 38.

Этот контур ограничит некоторую область составленную из сеточных прямоугольников.

Просуммируем почленно все уравнения (7), относящиеся к прямоугольничкам, составляющим область . Уравнения (7) и (6) отличаются только формой записи. Поэтому можно считать, что мы суммируем уравнения (6). Получим

Интегралы по тем сторонам прямоугольничков, которые не лежат на границе области но входят в выражение (6), после суммирования уравнений (6) взаимно уничтожатся.

Действительно, каждая из этих сторон принадлежит двум соседним прямоугольничкам, так что интегрирование функции по ней встречается дважды и ведется в противоположных направлениях (рис. 39).

Разностные схемы, при суммировании которых по точкам сеточной области остаются только алгебраические суммы значений неизвестных или функций от них вдоль границы области, называют дивергентными, или консервативными. Такие схемы аналогичны дифференциальным уравнениям дивергентного вида

при почленном интегрировании которых по двумерной области D в левой части возникает контурный интеграл (3) § 29. Разностная схема (2) недивергентна, схема (7) дивергентна.

Заметим следующее. Пусть сеточная функция удовлетворяющая уравнению (7), при равномерно сходится к некоторой кусочно-непрерывной функции во всякой замкнутой области, не содержащей линий разрыва, и пусть равномерно по h ограничена. Тогда удовлетворяет интегральному закону сохранения

где g — произвольный кусочно-гладкий контур.

Рис. 39.

Это непосредственно следует из возможности приблизить контур g контуром из равенства (8) и предположенной сходимости

Чтобы схема (7) приобрела смысл, надо указать способ вычисления величин по величинам . В схеме С. К. Годунова, которую мы используем для иллюстрации понятия дивергентных схем, для этого используется решение следующей задачи о «распаде разрыва». Пусть в начальный момент решение задано условиями

где и . Тогда можно найти соответствующее обобщенное решение. Как это делается, мы видел» в § 29 при разборе примера и примера . Нам важно знать значение решения при

Читатель, построив картинки типа рис. 33, 34, изображающие решение легко проверит, что на прямой решение принимает значения «лев, «прав или 0 в зависимости от заданных начальных данных, и выяснит для каждой конкретной пары чисел илев и иправ какое именно. Например, при будет , а при будет .

Величину в схеме (7) будем определять из задачи о распаде разрыва, возникающего на границе каждых двух участков, где заданы постоянные значения

Если, например, , то

и схема (7) примет вид

ИЛИ

Легко видеть, что при

имеет место принцип максимума

Отсюда видно, что при можно надеяться, что полученная разностная схема устойчива при некотором разумном выборе норм. Мы не будем фактически указывать эти нормы: экспериментальные расчеты подтверждают, что при измельчении сетки решение и задачи (7) с кусочно-монотонными и кусочно-гладкими начальными данными сходится к некоторой функции имеющей конечное число разрывов, причем вне любой окрестности разрывов сходимость равномерная.

Схема (7) с вычислением путем использования распада разрыва не является, конечно, единственной дивергентной схемой для задачи (1). Укажем, например, еще простейшую схему, основанную на идее пересчета. Эту идею мы изложили в п. 3 § 22. Для простоты ограничимся случаем

Сначала ищем вспомогательные величины и по недивергенной неявной разностной схеме

Значение коэффициента при их в уравнении заменяем через , а не через , чтобы возникающая схема была линейна относительно подлежащих вычислению величин.

Далее полагаем

и пользуемся схемой (7), (9).

Получаемая так дивергентная схема на гладком решении имеет второй порядок аппроксимаций:

Эвристическое исследование с помощью спектрального признака Неймана при линеаризации и замораживании коэффициента указывает на устойчивость при произвольном . Проведем это исследование.

В результате линеаризации и замораживания коэффициента придем к схеме вида

Для решения с начальными данными

получим

где

Далее,

где

1
Оглавление
email@scask.ru