3. Дивергентные разностные схемы.

Разностные схемы, не использующие искусственно введенную вязкость и не использующие

условия на разрыве, как было выяснено, должны опираться на интегральные законы сохранения.

Проведем на плоскости сетку прямых . Отметим на сторонах возникающих прямоугольников их середины (рис. 37) и отнесем их к сетке (оси координат на рисунке не показаны).

Искомой функцией будем считать сеточную функцию, определенную в точках сетки путем усреднения решения по той стороне сеточного прямоугольничка, которому принадлежит рассматриваемая точка сетки:

Приближенное решение задачи определено на той же сетке . Значения в точках лежащих на горизонтальных сторонах прямоугольничков, будем обозначать , а в точках вертикальных сторон — через

Величину можно считать продолженной на всю сторону прямоугольничка, которому принадлежит точка Аналогично будем считать, что определена на всем вертикальном промежутке

Таким образом, и будет функцией, определенной на прямых . Связь между величиной, , установим, исходя из интегрального закона сохранения

Рассмотрим в качестве контура Г элементарный прямоугольник сетки и положим

или в развернутом виде

Если будет указано правило вычисления величин по уже известным величинам , то формула (7) позволяет вычислить величины , т. е. продвинуться на один шаг по времени. Однако независимо от конкретного способа, который мы изберем для вычисления величины разностная схема вида (7) обладает свойством дивергентности, которое состоит в следующем. Проведем в полуплоскости какой-либо замкнутый несамопересекающийся контур, целиком состоящий из сторон сеточных прямоугольников (рис. 38).

Рис. 38.

Этот контур ограничит некоторую область составленную из сеточных прямоугольников.

Просуммируем почленно все уравнения (7), относящиеся к прямоугольничкам, составляющим область . Уравнения (7) и (6) отличаются только формой записи. Поэтому можно считать, что мы суммируем уравнения (6). Получим

Интегралы по тем сторонам прямоугольничков, которые не лежат на границе области но входят в выражение (6), после суммирования уравнений (6) взаимно уничтожатся.

Действительно, каждая из этих сторон принадлежит двум соседним прямоугольничкам, так что интегрирование функции по ней встречается дважды и ведется в противоположных направлениях (рис. 39).

Разностные схемы, при суммировании которых по точкам сеточной области остаются только алгебраические суммы значений неизвестных или функций от них вдоль границы области, называют дивергентными, или консервативными. Такие схемы аналогичны дифференциальным уравнениям дивергентного вида

при почленном интегрировании которых по двумерной области D в левой части возникает контурный интеграл (3) § 29. Разностная схема (2) недивергентна, схема (7) дивергентна.

Заметим следующее. Пусть сеточная функция удовлетворяющая уравнению (7), при равномерно сходится к некоторой кусочно-непрерывной функции во всякой замкнутой области, не содержащей линий разрыва, и пусть равномерно по h ограничена. Тогда удовлетворяет интегральному закону сохранения

где g — произвольный кусочно-гладкий контур.

Рис. 39.

Это непосредственно следует из возможности приблизить контур g контуром из равенства (8) и предположенной сходимости

Чтобы схема (7) приобрела смысл, надо указать способ вычисления величин по величинам . В схеме С. К. Годунова, которую мы используем для иллюстрации понятия дивергентных схем, для этого используется решение следующей задачи о «распаде разрыва». Пусть в начальный момент решение задано условиями

где и . Тогда можно найти соответствующее обобщенное решение. Как это делается, мы видел» в § 29 при разборе примера и примера . Нам важно знать значение решения при

Читатель, построив картинки типа рис. 33, 34, изображающие решение легко проверит, что на прямой решение принимает значения «лев, «прав или 0 в зависимости от заданных начальных данных, и выяснит для каждой конкретной пары чисел илев и иправ какое именно. Например, при будет , а при будет .

Величину в схеме (7) будем определять из задачи о распаде разрыва, возникающего на границе каждых двух участков, где заданы постоянные значения

Если, например, , то

и схема (7) примет вид

ИЛИ

Легко видеть, что при

имеет место принцип максимума

Отсюда видно, что при можно надеяться, что полученная разностная схема устойчива при некотором разумном выборе норм. Мы не будем фактически указывать эти нормы: экспериментальные расчеты подтверждают, что при измельчении сетки решение и задачи (7) с кусочно-монотонными и кусочно-гладкими начальными данными сходится к некоторой функции имеющей конечное число разрывов, причем вне любой окрестности разрывов сходимость равномерная.

Схема (7) с вычислением путем использования распада разрыва не является, конечно, единственной дивергентной схемой для задачи (1). Укажем, например, еще простейшую схему, основанную на идее пересчета. Эту идею мы изложили в п. 3 § 22. Для простоты ограничимся случаем

Сначала ищем вспомогательные величины и по недивергенной неявной разностной схеме

Значение коэффициента при их в уравнении заменяем через , а не через , чтобы возникающая схема была линейна относительно подлежащих вычислению величин.

Далее полагаем

и пользуемся схемой (7), (9).

Получаемая так дивергентная схема на гладком решении имеет второй порядок аппроксимаций:

Эвристическое исследование с помощью спектрального признака Неймана при линеаризации и замораживании коэффициента указывает на устойчивость при произвольном . Проведем это исследование.

В результате линеаризации и замораживания коэффициента придем к схеме вида

Для решения с начальными данными

получим

где

Далее,

где