5. Выбор скалярного умножения.

Пусть оператор задан равенством

причем при некотором фиксированном выборе скалярного умножения не обязательно по формулам (13), (14) операторы и - самосопряженные:

Пусть, далее,

Тогда оператор является самосопряженным в смысле скалярного умножения

В самом деле,

Доказанное тождество по

и означает самосопряженность оператора

Таким образом, выбор скалярного умножения по формуле (21) позволяет воспользоваться спектральным критерием п. 2 ограниченности норм степеней самосопряженных операторов. Именно, можно утверждать, что оператор определенный равенством (20), имеет вещественные собственные значения А и полную ортонормальную систему собственных векторов

и что расположение всех собственных чисел А на отрезка необходимо и достаточно для выполнения неравенств

где норма оператора задается с помощью скалярного умножения (21).