5. Границы применимости методов.

Разностная схема (4) и анализ убывания ошибки, проведенный нами, переносятся на разностные схемы, аппроксимирующие другие краевые задачи для эллиптического уравнения с переменными коэффициентами в области с криволинейными границами. Важно только, чтобы оператор аналогичный оператору в схеме (1), рассматриваемый на сеточных функциях, удовлетворяющих однородным граничным условиям, был самосопряженным и чтобы его собственные значения были одного знака:

В этом случае для анализа используются конечные ряды; Фурье не по функциям

а по ортонормальной системе собственных функций этого самосопряженногооператора Факт существования и полноты такой системы собственных функций известен, а их конкретный вид нигде не используется.

Разностная схема (6) переменных направлений выдерживает обобщение на случай задачи Дирихле с переменными коэффициентами в области с криволинейной границей. (Однако анализ Фурье становится невозможен.) В случае краевых условий вида прямое обобщение схемы (6) не приводит распадению алгоритма на одномерные прогонки.