§ 35. Метод установления

1. Идея метода установления.

Для вычисления решений многих стационарных задач математической физики, описывающих равновесные состояния, рассматривают последние как результат установления развивающегося во времени процесса, расчет которого часто оказывается проще, чем прямой расчет равновесного состояния.

Мы проиллюстрируем применение метода установления примером алгоритма для вычисления решения разностной задачи Дирихле

аппроксимирующей дифференциальную задачу Дирихле

В случае задачи (1), которым мы будем заниматься, удается провести теоретический анализ различных алгоритмов установления с помощью конечных рядов Фурье. Отметим сразу же, что для решения разностных эллиптических задач, подобных задаче (1), разработаны гораздо более эффективные итерационные методы; некоторые из них будут изложены в §§ 36, 37.

Способы точного решения задачи (1), выдерживающие обобщения на случай переменных коэффициентов и областей с

криволинейной границей, например метод исключения Гаусса, при сколько-нибудь больших М становятся неудобными и не применяются.

Изложим сначала наводящие соображения. Решение задачи (2) можно понимать как не зависящую от времени температуру в точке пластинки, находящейся в тепловом равновесии. Функции означают в таком случае соответственно распределение источников тепла и температуру на границе.

Рассмотрим вспомогательную нестационарную задачу о распространении тепла

где те же, что и в задаче (2), а произвольно.

Поскольку источники тепла и температура на границе не зависят от времени, то естественно ожидать, что и решение с течением времени будет меняться все медленнее, распределение температур в пределе при превращается в равновесное распределение температур описываемое задачей (2). Поэтому вместо стационарной задачи (2) можно решать нестационарную задачу (3) до того времени t, пока ее решение перестанет меняться в пределах интересующей нас точности. В этом и состоит идея решения стационарных задач методом установления.

В соответствии с этим вместо задачи (2) будем решать задачу (3), а вместо разностной схемы (1) для задачи (2) рассмотрим и сопоставим три различные разностные схемы для задачи (3).

Именно, рассмотрим простейшую явную разностную схему

Рассмотрим также простейшую неявную разностную схему

Наконец, исследуем схему переменных направлений (12) § 31:

Будем считать, что задано так, чтобы на границе выполнялось равенство

Вычисление по уже известному для схемы (4) осуществляется по явным формулам.

Вычисление при уже вычисленном по схеме (5) требует решения задачи

Эта задача ничем не проще исходной задачи (1). Поэтому простейшую неявную схему не имеет смысла использовать для приближенного вычисления. Наконец, вычисление по уже известным по схеме (6) осуществляется прогонками в направлении оси для вычисления решений одномерных задач при каждом фиксированном , а затем прогонками в направлении оси для вычисления решений одномерных задач при каждом фиксированном т.

Количество арифметических действий при этом пропорционально числу неизвестных. Для каждой из двух оставленных нами для дальнейшего изучения разностных схем (4) и (6) рассмотрим разность

между сеточной функцией и точным решением задачи (1), существование которого доказано в § 34.

Выясним условия, при которых погрешность решения и нестационарной задачи стремится к нулю с ростом , а также характер этого стремления к нулю; выберем оптимальным

образом шаг и оценим объем вычислительной работы, необходимый для уменьшения нормы первоначальной погрешности

в заданное число раз.