§ 41. Запись разностных краевых задач в виде ...
Канонический вид. Разностную схему
для задачи
запишем в виде
Положив
перепишем ее в виде
Слагаемое 
полностью определяется по 
, так что его можно записать в форме
где 
— оператор, который каждой сеточной функции 
ставит в соответствие сеточную функцию 
по формуле (2). Запись (1) примет тогда вид
этом параграфе мы покажем и на других примерах, как осуществляется приведение эволюционных разностных краевых задач
к виду (3). Мы установим, что если при таком приведении удовлетворены некоторые естественные требования, то устойчивость задачи (4) на отрезке 
равносильна выполнению неравенств
где К — некоторая постоянная, не зависящая от h, и сведем, таким образом, исследование устойчивости к оценкам величин 
, т. е. норм степеней оператора перехода 
Аналогичные построения и рассмотрения были проведены в §§ 15 и 16. Напомним, что в § 41 изучение устойчивости было сведено к рассмотрению неравенств
Именно было установлено, что устойчивость равносильна существованию числа с, не зависящего от 
и такого, что 
неравенство (6) выполняется при всех 
Теперь приступаем к реализации намеченного плана, причем начнем с примера приведения разностной схемы к виду (3). Рассмотрим разностную схему
Яено, что должны быть выполнены условия согласования 
. В силу условий задачи 
задано, а функции 
можно последовательно вычислить. Для этого следует переписать разностное уравнение из схемы (7) в виде
и использовать равенства
Поэтому примем за 
пространство сеточных функций
с нормой
Запишем теперь разностную краевую задачу в виде
обозначив через 
оператор, который каждому элементу 
пространства 
ставит в соответствие некоторый элемент 
того же пространства по формулам
При таком выборе оператора 
сеточная функция 
из
определится формулой
Этим мы закончили приведение рассматриваемой разностной схемы (7) к виду (3). Мы собираемся использовать запись разностных краевых задач в этом виде для исследования устойчивости. Но для того, чтобы неравенства (6), означающие устойчивость, имели смысл, должна быть определена норма 
. В нашем примере разностная краевая задача (7) записывается в виде (4), если положить
Норму 
определим равенством
