2. Метод характеристик.

Наиболее четко идея выделения разрыва при расчете обобщенного решения реализуется в методе характеристик, который можно считать одним из вариантов метода конечных разностей. Развитие возникающих в процессе расчета, т. е. при увеличении времени t, разрывоз считается по особым формулам, использующим соотношение (5) на разрыве. Вне разрывов задания дифференциального уравнения во всех встречавшихся нам формах равносильны между собой. Поэтому при построении расчетных формул в точках областей гладкости можно исходить из записи закона сохранения в дифференциальной форме, т. е. из дифференциального уравнения

Принципиальная схема одного из вариантов метода характеристик применительно к нашему примеру состоит в следующем. Отметим на оси точки Будем считать для определенности, что начальное условие задается гладкой функцией Из каждой точки выпустим характеристику уравнения

Предположим, чтобы не осложнять изложение, что при заданной функции можно выбрать столь малое , что на любом отрезке времени длины каждая характеристика пересекается не более чем с одной из соседних характеристик.

Возьмем такие и проведем прямые Рассмотрим точки пересечения характеристик, выходящих из точек с прямой и перенесем в эти точки значения решения и по характеристикам.

Если на участке никакие две характеристики не пересеклись, то делаем следующий шаг: продолжаем характеристики до пересечения с прямой и переносим по характеристикам значения решения в точки пересечения. Если пересечения характеристик за время опять не было, то

делаем следующий шаг и так до тех пор, пока на некотором участке две характеристики, например выходящие из точек пересекутся (рис. 36). Тогда середину отрезка будем считать точкой, из которой выходит зарождающийся разрыв. Точки заменяем одной точкой Q, приписывая ей два значения решения, принимая за эти величины значения

Рис. 36

Из точки Q выпускаем линию разрыва до пересечения с прямой Угловой коэффициент разрыва определяем из условия на разрыве

Из точки пересечения разрыва с прямой проводим характеристики назад до пересечения с прямой проведя их с угловыми коэффициентами и «прав с предыдущего слоя. В точках пересечения этих характеристик с прямой с помощью интерполяции по находим значения и и принимаем их за левое и правое значения решения в точке разрыва, лежащей на прямой Это позволяет определить новый наклон разрыва как среднее арифметическое найденных значений слева и справа и продолжить разрыв еще на шаг времени.

Рис. 37

Достоинство метода характеристик в том, что он позволяет следить за разрывами и акукратно их рассчитывать. Однако в процессе счета возникают все новые разрывы, в частности, малосущественные разрывы могут пересекаться, так что с течением времени картина усложняется. Логика расчета усложняется, требования к машинной памяти и расход машинного времени возрастают.

В этом недостаток метода характеристик, в котором раз рывы выделены и считаются нестандартным образом.