§ 32. Экономичные разностные схемы

Рассмотрим и исследуем примеры разностных схем расщепления для задачи о распространении тепла

в прямоугольной области с границей Г. Будем пользоваться обычной сеткой

Разностная схема расщепления, которую мы приведем, в некоторых отношениях обладает принципиальными преимуществами перед простейшей явной

и простейшей неявной

разностными схемами.

Вычисления по явной схеме (2) очень просты. Для перехода от уже известного к неизвестному требуется проделать арифметические действия в количестве, пропорциональном числу неизвестных значений . В этом умысле явная схема неулучшаема. Разностные схемы, в которых число арифметических действий для перехода от пропорционально числу неизвестных значений, называются экономичными. Однако, будучи экономичной, явная схема устойчива лишь при жестком ограничении на шаг сетки. Приведенная выше простейшая неявная разностная схема (3), как мы уже знаем (§ 27, п. 3), абсолютно устойчива. Но она далеко не является экономичной. Для неизвестных приходится решать сложную (нерасщепляющуюся) систему линейных уравнений. Как известно из, алгебры, для этого требуется произвести арифметические действия в количестве, пропорциональном не первой степени числа неизвестных, как в экономичных схемах, но кубу числа неизвестных, если пользоваться каким-либо методом исключения неизвестных.

Заметим, что сейчас ведутся поиски более экономичных способов точного решения общих линейных систем. Штрассеном указан алгоритм, требующий числа действий, пропорционального не третьей, степени числа неизвестных.

Разностная схема расщепления, которую мы построим, является экономичной и безусловно устойчивой, т. е. соединяет достоинства явной (2) и неявной (3) схем.

Относительно решения u(x,y,t) задачи (1) мы будем предполагать, что оно имеет непрерывные вплоть до границы Г производные всех порядков, которые по ходу дела потребуются. Отметим, что на границе Г все производные по пространственным переменным четного порядка (до того порядка, до которого они существуют и непрерывны) обращаются в нуль:

Так, на стороне границы Г квадрата обращаются в нуль Поэтому в силу уравнения также Дифференцируя уравнение по у дважды, получим

Но на стороне х = 0 границы Г будет

а значит, в силу дифференциального уравнения также .

Переходим к построению разностной схемы расщепления для задачи (1).

Задаче (1) на отрезке поставим в соответствие две задачи:

Сеточную функцию

будем определять последовательно при из уравнений

Задача (7) аналогична задаче (5), а задача (8) - задаче (6). При этом

В соответствии с разностной схемой расщепления (7), (8) сначала по известным значениям вычисляется вспомогательная функция а потом из (8) вычисляется

Заметим, что разностная задача (7) для отыскания при каждом фиксированном в точности совпадает с неявной разностной схемой

для одномерного уравнения теплопроводности (5) на отрезке, , в которое у входит только как параметр

Разностная задача (7) при каждом фиксированном решается прогонкой в направлении оси

Точно так же разностная задача (8) при каждом фиксированном решается прогонкой по направлению оси . Подчеркнем, что в силу свойств алгоритма прогонки общее число арифметических действий для вычисления оказывается пропорционально числу неизвестных значений, т. е. разностная схема (7), (8) является экономичной.

Для точного формулирования понятия аппроксимации и устойчивости запишем разностную схему (7), (8) в принятом нами на протяжении всей книги виде

Для этого положим

где — решение вспомогательной задачи,

За надо принять в таком случае

В качестве нормы в примем

К пространству отнесем элементы g вида

и норму в определим равенством

Сначала докажем безусловную устойчивость разностной схемы (9), задаваемой уравнениями (10), (12), а аппроксимацию докажем позже. Ввиду линейности разностной схемы (9) для доказательства устойчивости надо показать, что задача имеет решение при произвольном , причем

где с не зависит от h.

Запишем задачу в развернутом виде:

где — решение вспомогательной задачи

причем

В силу принципа максимума, доказанного в § 28 для одномерной неявной разностной схемы, аппроксимирующей одномерное

уравнение теплопроводности, из уравнений (13) следует, что

Но из (14) следует, что

Поэтому

Отсюда

Выписанное неравенство

справедливо при любом , поэтому

при произвольном соотношении шагов . Это и означает, что рассматриваемая схема расщепления безусловно устойчива.

Перейдем к проверке аппроксимации. Будем предполагать, как обычно, что задача (1) имеет достаточно гладкое решение . Вычислим невязку возникающую при подстановке в левую часть уравнения (9), и покажем, что .

В соответствии с тем, как мы определили оператор , будет

где — решение вспомогательной задачи

Решение вспомогательной задачи (16), как мы покажем ниже, имеет вид

Подставляя это выражение в (15), получим

Таким образом,

где

Отсюда

Осталось доказать приближенное представление (17) для решения задачи (16).

Сначала выскажем эвристические соображения, подсказавшие представление (17). Ясно, что при малых выполняется приближенное равенство

При замене на этом основании в уравнении (16) выражения Лххйтп выражением возникло бы уравнение

из которого следует равенстве лишь остаточным членом отличающееся от (17). Переходим к доказательству справедливости (17).

Доопределим в точках Г, положив Подставим

вместо в уравнение (16). Получим

В предположении, что непрерывна и ограничена, и учитывая, легко видеть, что ограничено. Поэтому

Вычитая из этих уравнений уравнения (16) почленно, для разности получим

или в развернутом виде

Но эта задача для имеет вид

В § 4 было доказано, что в таком случае

где с зависит только от . Отсюда , т. е.

что совпадает с представлением (17), которое мы доказываем.

ЗАДАЧИ

1. Для дифференцильной краевой задачи (1) о распространении тепла, в квадратной области предложить и исследовать разностную схему расщепления, аналогичную явной схеме расщепления (8) из § 31 для задачи Коши.

2. Для дифференциальной краевой задачи (1) предложить разностную схему, аналогичную схеме переменных направлений (12) из § 31. Доказать, что имеет место аппроксимация порядка

3. Предложить разностную схему для решения задачи

в случае криволинейной области D по аналогии с разностной схемой расщепления, рассмотренной для задачи (1) в тексте параграфа.