§ 24. Условие Куранта, Фридрихса и Леви, необходимое для сходимости

В § 21 мы доказали, что разностная схема

аппроксимирующая задачу Коши

не может оказаться сходящейся при произвольной функции если рис. 9 на стр. 179). При этом было использовано соображение общего характера, впервые на несколько другом примере сформулированное Курантом, Фридрихсом и Леви.

Это соображение часто помогает при конструировании и исследовании разностных схем. Оно состоит в следующем.

1. Условие Куранта, Фридрихса и Леви.

Допустим, что в постановке дифференциальной задачи участвует некоторая функция (см., например, (2)). Выберем произвольную точку принадлежащую области определения решения значение решения зависит от значений функции в точках некоторого множества принадлежащего области определения функции , т. е., изменяя значения в малой

окрестности любой точки Q из области можно вызвать изменение значения решения Допустим, что для вычисления решения и используется некоторая разностная схема причем значение решения в точке сетки, ближайшей к Р, полностью определяется значениями функции на некотором множестве

Для того чтобы имела место сходимость и при разностная схема необходимо должна быть устроена так, чтобы в произвольной окрестности любой точки области при достаточно малом h имелась точка множества

Объясним, почему в случае невыполнения сформулированного условия Куранта, Фридрихса и Леви сходимости ожидать не приходится. Пусть оно не выполнено, так что в некоторой фиксированной окрестности некоторой точки Q из области при всех достаточно малых h нет точек из множества Если сходимость и и при данной функции имеет (случайно!) место, то изменим в указанной окрестности точки Q так, чтобы изменилось значение оставляя вне этой окрестности функцию неизменной. Сходимость при новой функции уже не может иметь места: значение изменилось, в то время как значения в точке сетки, ближайшей к Р, остались при малых h неизменными, поскольку функция в точках множества осталась неизменной.

Условию Куранта, Фридрихса и Леви нетрудно придать форму теоремы, а проведенные рассуждения превратить в ее доказательство, однако мы не будем этого делать.

Рассмотрим несколько примеров, где изложенное нами соображение позволяет установить расходимость и непригодность разностной схемы и нащупать устойчивую и сходящуюся разностную схему. Конечно, доказательство сходимости приходится проводить отдельно, так как выполнение условия Куранта, Фридрихса и Леви лишь необходимо, но недостаточно для сходимости. Заметим также, что при наличии аппроксимации условие Куранта, Фридрихса и Леви необходимо и для устойчивости, поскольку из аппроксимации и устойчивости следует сходимость.