4. Интегральное представление решения.

Рассмотрим задачу Щоши вида

с постоянными коэффициентами, предполагая, что

Разностные схемы (1), (15), (18), (21) приводятся к виду (31), если обе части входящих в них разностных уравнений умножить на .

Заметим прежде всего, что при произвольных ограниченных сеточных функциях задача (31) имеет одно и только одно ограниченное решение. Действительно, если уже известно, что при данном фиксированном существует и ограничено, то уравнение (31) превращается в обыкновенное разностное уравнение второго порядка

относительно с ограниченной правой частью. Соответствующее характеристическое уравнение благодаря (32) не имеет корней по модулю равных единице. Поэтому, как показано в конце п. 2 § 3, оно имеет единственное ограниченное решение Но задана и ограничено, поэтому последовательно из (33) однозначно определяются ограниченные функции и т. д.

Нам понадобятся следующие известные сведения о рядах Фурье.

Каждой последовательности чисел для которой соответствует сходящийся (квадратически в среднем) ряд Фурье

суммой которого является интегрируемая с квадратом на отрезке функция

Обратно, каждая интегрируемая с квадратом на отрезке О а функция разлагается единственным образом в некоторый ряд Фурье (34) с коэффициентами вычисляемыми по формулам

При этом выполнено равенство Парсеваля

Теорема 1. Пусть в задаче (31)

Тогда ограниченное решение этой задачи допускает интегральное представление

где интегрируемая с квадратом функция определяется рекуррентным соотношением

Здесь

а функция

подобрана так, чтобы при каждом сеточная функция удовлетворяла однородному уравнению, соответствующему уравнению (31).

Доказательство получается прямой подстановкой выражения (37) в уравнение и начальное условие (31) с помощью равенств (34) и (35).

Следствие. Если в (31) функция , то в силу (38) имеем а из (37) следует

Интегральными представлениями (37) и (39) можно пользоваться для анализа свойств разностной схемы (31).

Определим нормы равенствами

Теорема 2. Для устойчивости разностной схемы (31) по начальным данным, т. е. для выполнения неравенств

при произвольном при с постоянной с, не зависящей от h (и от ) необходимо и достаточно, чтобы спектр лежал в круге (10):

где не зависит от h (и от ).

Доказательство. Сначала установим достаточность. При условии (41), очевидно,

Из представления (39) в силу равенетва Парсеваля и неравенства (42) следует 4

Необходимость. Покажем теперь, что из невыполнения (41) при любом фиксированном следует неустойчивость. Использовать неограниченность при решения

имеющую место в этом случае, для доказательства неустойчивости при выбранной норме (40) нельзя, так как не принадлежит пространству сеточных функций, у которых сумма квадратов модулей их значений ограничена.

Для доказательства неустойчивости заметим сначала, что всегда можно выбрать интегрируемую с квадратом функцию так, чтобы выполнялось неравенство

где — произвольное. В самом деле, если

, то положим

Благодаря непрерывности функции при достаточно малом будет выполнено (43). Если (42) не выполнено, то найдется последовательность и соответствующая последовательность при которых

Положим и выберем так, чтобы выполнялось (43). За последовательность примем последовательность коэффициентов Фурье функции . Тогда (43) при примет вид

что и означает отсутствие устойчивости по начальным данным.

Теорема 3. Для устойчивости разностной задачи Коши (31) при сделанном выборе норм (40) необходимо и достаточно, чтобы выполнялся спектральный признак устойчивости (41).

Доказательство. Необходимость очевидна, так как при невыполнении этого признака в силу теоремы 2 нет устойчивости по начальным данным.

Для доказательства достаточности установим, что при каждом справедливо неравенство

из которого, очевидно, следует справедливость при всех неравенств

Суммируя левые и правые части этих неравенств по почленно и отбрасывая одинаковые слагаемые в левой и правой частях, можно написать

Отсюда, ввиду произвольности следует устойчивость.

Для доказательства неравенства (44) воспользуемся интегральным представлением решения (37) и рекуррентным соотношением (38), откуда

Таким образом, сеточная функция аргумента m представлена в виде суммы двух сеточных функций, записанных в виде интегралов по параметру а.

В силу равенства Парсеваля, для норм этих двух сеточных функций можно написать

В силу двух последних оценок для норм слагаемых, входящих в правую часть равенства (45), получаем оценку (44), завершающую доказательство.

Можно показать, что если за норму принять не (40), а равенство , то спектральный признак перестанет быть достаточным признаком устойчивости. Для разностной задачи Коши в случае системы уравнений этот признак также лишь необходимый признак устойчивости.

Интегральным представлением (37) решения разностной задачи Коши можно воспользоваться не только для исследования устойчивости, но и для выяснения других свойств разностной схемы.

Если, например, спектр при лежит строго внутри единичного круга, то решения отвечающие при переходе от слоя к слою гасятся, умножаясь на . Из формулы (39) видно, что при получается сеточная функция, отвечающая функции , которая сосредоточена на Длинных волнах . Разностная схема «выглаживает» начальные данные.