2. Оценка влияния на результат ошибок округления в процессе вычислений.

Будем решать задачу (1) прогонкой. При реальных вычислениях на каждом шаге вычислительного процесса допускаются вычислительные погрешности, связанные с ошибками округления. Поэтому реальный вычислительный процесс ведется по формулам

Предположим, что для всех вычислительных погрешностей справедливы оценки

с достаточно малым ,

Покажем, что в этом случае в прогоночных формулах (10) ни один знаменатель не обращается в нуль, и оценим, насколько допускаемые погрешности могут исказить результат вычислений.

Обозначим

Очевидно, что сводка формул (10) может быть переписана так:

и рассматриваться как схема вычислительного процесса для решения разностной краевой задачи

со следующими возмущенными правыми частями и коэффициентами:

Докажем, что

Доказательство будем вести индукцией по l. При

Пусть для неравенство (12) уже доказано. Для вычисления коэффициентов используются только при Поэтому можно утверждать в силу (6), что и что, следовательно,

Этим индукция завершается.

Таким образом, показано, что если то вы полнены неравенства

а значит, справедливы оценки (6) и (8):

Мы видим, что в процессе вычислений но формулам (10) не придется делить на нуль.

Теперь из формул (11) для и оценок (13) следуют неравенства

Таким образом, допуская на каждом шаге вычислительного процесса ошибки, не превосходящие мы тем самым решаем систему с возмущенными коэффициентами и правыми частями.

Эти возмущения не превосходят , где

зависит только от М, причем возмущения коэффициентов не превосходят также .

Такие возмущения коэффициентов и правых частей приводят, как показывает оценка (10) из § 6, к погрешностям в не превосходящим МЬ. Здесь М опять-таки зависит только от М. (Если , то так что погрешность решения будет )

Если М, а тогда и М, не зависит от N, то, совершая при вычислениях по методу прогонки ошибки порядка на каждом шаге процесса (число таких шагов пропорционально N), мы получим в ответе ошибки не больше чем

Таким образом, влияние на результат ошибки, допущенной на каком-либо шаге вычислений, не возрастает с ростом N. Более того, даже суммарное влияние ошибок, допущенных на всех шагах вычислений, тоже не возрастает.

Это замечательное свойство прогонки и послужило причиной ее широкого применения.