3. Схема переменных направлений.

Займемся теперь исследованием поведения погрешности для схемы (6).

Аналогично предыдущему убеждаемся, что погрешность в этом случае удовлетворяет разностной краевой задаче

Решение задачи (15) было выписано в виде конечного ряда. Фурье в § 27. Как и для задачи (9), оно имеет вид (10):

где — коэффициенты разложения начальной погрешности

в конечный ряд Фурье, но числа на которые умножается гармоника при переходе от теперь другие:

Как и при анализе сходимости схемы (4), выполнено неравенство (13):

причем равенство достигается при некотором специальном задании

Из выражения (16) для видно, что при любом выполнено неравенство и, следовательно, имеет место стремление к нулю. Далее, где

Поэтому достигается при , где — тот номер, при котором величина максимальна. Очевидно, что функция монотонна. Поэтому

лежит между точками

и

на вещественной прямой. Увеличение вызывает сдвиг точек влево. Поэтому значение будет наименьшим при том , при котором , т. е. при . В этом случае

Для уменьшения нормы погрешности в заданное число раз по сравнению с первоначальным значением нормы погрешности число шагов должно быть найдено из условия , откуда

Каждый переход от требует арифметических операций. Следовательно, общее число арифметических операций для уменьшения ошибки в раз будет а для уменьшения в заданное число k раз будет

Мы видим, что при больших М второй из рассмотренных нами процессов установления, использующий схему переменных направлений, приводит к уменьшению ошибки в заданное число раз ценой меньших затрат арифметических действий, чем метод установления, основанный на использовании простейшей явной разностной схемы (4): при достаточно больших значениях М (при мелкой сетке) схема переменных направлений оказывается выгоднее.