2. Пример вычислительно неустойчивого алгоритма.

Для решения хорошо обусловленной разностной краевой задачи (1) возможны разные алгоритмы. Мы описали алгоритм прогонки, обладающий достоинствами малого числа необходимых арифметических действий и вычислительной устойчивости. Укажем другой, еще более простой алгоритм, однако вычислительно неустойчивый и практически непригодный при больших значениях

Задав найдем решение разностного уравнения (1). Понятно, что, вообще говоря, . Задав вычислим решение

Это решение также не удовлетворяет условию на правой границе. Положим теперь

Очевидно, что при любом о выполнено условие и удовлетворяется уравнение (1). Выберем о так, чтобы выполнялось условие

т. е. положим

и по формуле (5) получим искомое решение задачи (1).

Если бы вычисления велись на идеальной, лишь умозрительно возможной машине точно, то этот алгоритм был бы хорош. Покажем теперь, что чувствительность его к погрешностям округления для хорошо обусловленной задачи (1) быстро возрастает при . Сделаем это на примере, когда

Условие (4) хорошей обусловленности выполнено., В этом случае решение разностной краевой задачи выражается формулой

Для в силу (5) § 3 получим

Заметим, что значения растут, как 5. Поэтому при больших N при вычислении произойдет выход чисел за допустимые границы. Но допустим, что этого не произошло и что абсолютно точно найдены . Допустим, что единственная ошибка округления допущена при вычислении . Тогда по формуле (5) получим вместо

где

Погрешность при будет иметь вид

и при фиксированной относительной погрешности , допущенной при вычислении , будет быстро возрастать, «забивая» точное решение которое в силу формулы (6) остается ограниченным.

Описанный алгоритм называют методом стрельбы. В других ситуациях (см. § 20) он может оказаться устойчивым и вполне эффективным.