2. Каноническая запись разностной схемы.

Введем новые обозначения, положив

Тогда равенства (5) запишутся в виде

обозначениями (12), повторим все проделанные выше выкладки. Равенства (6) примут вид

Отсюда

Нормы теперь запишутся равенствами

Тогда, учитывая можно написать

Доказательство устойчивости будет завершено, если будет установлена равномерная относительно h ограниченность совокупности чисел , т. е. оценка

Но

что завершает доказательство.

Запись разностной схемы в форме (13) позволила свести доказательство устойчивости к получению оценки для Эта удобно. Мы и все другие разностные схемы решения задач с начальными условиями будем приводить к каноническому виду (13), понимая под различные выражения, в каждом примере свои.

Запишем, например, в форме (13) разностную схему

приближающую задачу Коши (2) для системы дифференциальных уравнений. Здесь

Запишем разностную схему (14) в форме

где — матрица второго порядка. Придадим этому векторному разностному уравнению вид рекуррентного соотношения:

Если положить

то последняя запись приобретет требуемый вид (13).