2. Сходимость минимизирующих последовательностей.

Точным решением задачи (А), как мы видели, является та функция которая придает наименьшее значение функционалу среди всех допустимых функций, т. е. функций удовлетворяющих условию

Численное решение вариационной задачи об отыскании и состоит в построении такой функции которая придает функционалу хотя и не наименьшее значение но «близкое» к наименьшему. Точнее, для вычисления должен быть указан способ построения членов такой последовательности допустимых функций для которой

Такая последовательность допустимых функций называется минимизирующей. Выбирая член минимизирующей последовательности с достаточно большим номером N, можно добиться того, чтобы отличалось от сколь угодно мало.

Совершенно аналогично для вариационной постановки задачи (В) минимизирующей последовательностью допустимых функций будет всякая последовательность для которой

Способы построения минимизирующих последовательностей для вариационных задач (метод Ритца и вариационно-разностные схемы) будут указаны в этой главе ниже.

Здесь мы докажем только, что минимизирующие последовательности сходятся квадратически в среднем вместе с первыми производными к решениям u и v соответствующих вариационных задач, так что их члены можно считать приближениями к

решениям. Именно, будут доказаны следующие два предложения.

Теорема 3. Пусть Тогда

где а — некоторая постоянная, полностью определяемая формой области D и не зависящая от функции до.

Теорема, 4. Пусть w — произвольная функция из Тогда

где постоянная зависит только от формы области D и от числа но не от функции

Из неравенств (10) и (11), очевидно, следует сходимость соответствующих вариационным постановкам краевых задач (А) и (В) минимизирующих последовательностей к соответственно, поскольку при замене до членом соответствующей минимизирующей последовательности правые, а значит, и левые части неравенств (10) и (11) при стремятся к нулю.

Рис. 46.

Доказательство теорем 3 и 4 основано на следующей лемме.

Лемма. Пусть функция Тогда справедливо следующее неравенство:

Здесь - некоторая постоянная, которая полностью определяется областью D и числом и не зависит от функции

Доказательство неравенства (12) проведем при дополнительном предположении, что каждая прямая пересекает границу Г области D не более чем в двух точках. Это предположение не вызвано существом дела, но благодаря ему доказательство становится коротким.

Пусть — точка внутри области D (рис. 46). Тогда

Возведем обе части неравенства (13) в квадрат и воспользуемся очевидным неравенством справедливым для любых двух чисел А и В:

Воспользуемся неравенством Буняковского

Из (14) и (15) получим

Проинтегрируем обе части (16) по в пределах от до , воспользовавшись тем, что правая часть от не зависит:

Проинтегрируем теперь обе части неравенства (17) по у в пределах от до . Получим

Очевидно, что

Из (18), (19) и (20) следует

т. е. неравенство (12), причем за постоянную (J можно принять число

Следствие. Пусть Тогда справедливоследующее неравенство Фридрихса:

где

Доказательство. Положим Для функций удовлетворяющих дополнительному условию неравенство (12) примет вид (21), где

Доказательство теоремы 3. Для всякой функции функция удовлетворяет условиям следствия из леммы, а потому и неравенству (21). Если учесть равенство (4)

то (21) можно записать в форме

Прибавляя к неравенству (21) равенство (4), получим неравенство (10), в котором . Теорема 3 доказана.

Доказательство теоремы 4. Для всякой функции функция удовлетворяет условию леммы, а значит, и неравенству (12). Если учесть равенство (8)

то (12) можно записать в форме

Складывая (8) и (12) почленно и отбрасывая в левой части неотрицательное слагаемое получим неравенство (11) с постоянной . Теорема 4 доказана.