ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Выше, в связи с разностными схемами для обыкновенных дифференциальных уравнений, мы определили понятия сходимости, аппроксимации и устойчивости. Мы доказали теорему о том, что если разностная краевая задача аппроксимирует дифференциальную задачу и устойчива, то при измельчении сетки решение разностной задачи сходится к решению дифференциальной. В этой теореме содержится указание на способы построения сходящихся разностных схем для численного решения дифференциальных краевых задач: надо строить аппроксимирующие разностные схемы и выбирать среди них устойчивые.

Определения сходимости, аппроксимации и устойчивости и теорема о связи между этими понятиями носят общий характер. Они одинаково имеют смысл для любых функциональных уравнений. Мы иллюстрировали их примерами разностных схем для обыкновенных дифференциальных уравнений и для интегрального уравнения. Здесь мы проиллюстрируем некоторые основные способы построения разностных схем и проверки их устойчивости примерами разностных схем для уравнений с частными производными. При этом обнаружится много важных и существенно новых по сравнению со случаем обыкновенных дифференциальных уравнений обстоятельств. Главные из них разнообразие сеток и способов аппроксимации, неустойчивость большинства взятых наудачу аппроксимирующих схем, сложность исследования устойчивости и трудности вычисления решений разностных краевых задач, требующие специальных усилий для их преодоления.

ГЛАВА 7. ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЕМЫ ПОСТРОЕНИЯ И ИССЛЕДОВАНИЯ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ

§ 21. Напоминание и иллюстрация основных определений

1. Определение сходимости. Пусть требуется приближенно вычислить решение и дифференциальной краевой задачи

поставленной в некоторой области D с границей Г. Для этого следует выбрать дискретное множество точек сетку, — принадлежащее , ввести линейное нормированное пространство функций, определенных на сетке установить соответствие между решением и и функцией которую будем считать искомой таблицей решения . Для. приближенного отыскания таблицы которую мы условились считать точным решением задачи (1), надо на основе задачи (1) составить такую систему уравнений

относительно функции из чтобы имела место сходимость

Если для решения разностной краевой задачи (2) выполнено неравенство

то говорят, что сходимость имеет порядок k относительно h.

Задачу построения сходящейся разностной схемы (2) разбивают на две — на построение разностной схемы (2), аппроксимирующей задачу (1) на решении и последней, и на проверку устойчивости схемы (2).