3. Порядок аппроксимации.

Интересно понять, с чем связано то обстоятельство, что схема

оказывается менее точной, чем схема

Эти схемы различаются приближенными выражениями

для производной в точке . Естественно поэтому предполагать, что в первой схеме производная заменена менее точным выражением, чем второй. Так оно и есть на самом деле. Заменим их тейлоровскими разложениями:

Пользуясь этими разложениями, получим

т. е. в первом случае мы имеем аппроксимацию производной лишь с первым порядком точности, а во втором — со вторым порядком.

Рассмотренные примеры наводят на мысль, что порядок скорости сходимости решений разностных уравнений может быть сделан равным порядку аппроксимации производных дифференциального уравнения.

Однако оказывается, что в такой общей формулировке эта гипотеза неверна. На разностные схемы, для которых будет доказана ее справедливость, нам придется наложить одно весьма существенное ограничение — требование устойчивости. Необходимость этого ограничения станет ясна из примера, который мы рассмотрим в следующем параграфе.