§ 7. Обоснование метода прогонки для хорошо обусловленных краевых задач

Теперь все подготовлено, для исследования прогонки, которая была описана в § 5. Пусть требуется вычислить решение разностной краевой задачи

Относительно этой задачи будем предполагать, что сама она и все задачи, полученные ее урезаниями:

имеют решения при произвольных правых частях, причем

В процессе исследования прогонки мы будем пользоваться тем, что в силу оценок (4) и (5) п. 1 § 6 разностная задача с возмущенными коэффициентами

а также все задачи, полученные урезанием задачи (3), имеют решения при произвольных правых частях, причем

1. Оценки прогоночных коэффициентов.

Здесь мы покажем, что при вычислении прогоночных коэффициентов никогда не придется делить на нуль, и получим оценки прогоночных коэффициентов, пригодные как для исходной задачи (1), так и для возмущенной задачи (3). Для этого достаточно рассматривать возмущенную задачу, так как исходная задача является частным случаем возмущенной

Рассмотрим следующую урезанную систему:

Она разрешима. Найдем из нее . Из формул Крамера для решений систем линейных алгебраических уравнений вытекает, что представимо в виде

где L и зависят только от . Вследствие оценки (4), справедливой при произвольных отсюда при следует

а при следует

Величинам L и К удобно присвоить индекс и полученные соотношения и неравенства записывать так:

Соотношение такого же вида было получено при описании прогонки в § 5. Из формул Крамера (5) видно, что однозначно определяется через коэффициенты однозначно определяется по Отсюда следует, что коэффициенты совпадают с полученными в § 5 прогоночнымй коэффициентами, для которых там были выписаны рекуррентные формулы

Понятно, что это последнее утверждение справедливо, только если рекуррентные формулы имеют смысл, т. е. если ни один из знаменателей в этих формулах не обращается в нуль.

Докажем, что знаменатели действительно не обращаются в нуль,

Пусть мы уже показали, что по формулам (7) можно вычислить

проверим их применимость для Для этого достаточно показать, что

Рассмотрим систему уравнений

О решении такой системы мы знаем, что оно существует. Из первых l (однородных) уравнений следует условия (4) следует, что Из единственного неоднородного уравнения, входящего в систему (9), следует, что

Поэтому

что и доказывает оценку (8), а вместе с тем осмысленность рекуррентных формул (7), а также оценки (6).