2. Зависимость между аппроксимацией, устойчивостью к сходимостью.

Докажем теперь, что из аппроксимации и устойчивости следует сходимость.

Теорема. Пусть разностная схема аппроксимирует задачу на решении и с порядком и устойчива. Тогда решение разностной задачи сходится к причем имеет место оценка

где — числа, входящие в оценки (3) и (5).

Доказательство. Положим Тогда оценка (5) примет вид

Учитывая (3), сразу получаем доказываемое неравенство (7).

В качестве иллюстрирующего примера докажем устойчивость разностной схемы Эйлера

для численного решения дифференциальной краевой задачи

Будем предполагать функцию двух аргументов и функцию такими, что существует решение имеющее ограниченную вторую производную. Кроме того, будем считать, что имеет ограниченную производную по и

Читателю рекомендуется проверить, что разностная схема (8) аппроксимирует задачу (9) на решении с первым относительно h порядком. (Разностное уравнение соответствует задаче с первым порядком, а граничное условие точно.) Определим нормы

и займемся проверкой устойчивости разностной схемы (8). Запишем ее в форме (2), положив

Задача

в подробной записи имеет вид

где

Вычтем из уравнений (11) соответствующие уравнения (8) почленно. Обозначим

и учтем, что

где — некоторое число, заключенное между числами и Получим следующую систему уравнений для определения :

Учитывая, что в силу (10) и что получим

Из доказанного неравенства

следует оценка вида (6):

означающая устойчивость с константой . В силу теоремы разностная схема (8) является сходящейся с первым относительно h порядком.

Исследуем теперь сходимость разностной схемы (7) § 10

для дифференциальной краевой задачи (4) § 10. Аппроксимация со вторым относительно h порядком задачи (4) § 10 задачей (13) благодаря формуле

здесь очевидна. Займемся проверкой устойчивости. Рассматриваемая задача линейна. Поэтому проверка устойчивости состоит в том, чтобы установить существование единственного решения задачи

при любых , и в том, чтобы получить оценку

Задачу вида (14) мы рассматривали в § 4 (см. стр. 40). Там для задачи вида

в предположении

была доказана ее однозначная разрешимость и оценка

В случае задачи (14)

Поэтому оценка (16) влечет за собой оценку (15) с постоянной . Устойчивость доказана.

Отметим одно обстоятельство, которое может оказаться полезным при доказательстве сходимости путем проверки аппроксимации и устойчивости.

Пусть разностная схема (2) разбита на две подсистемы

так, что

Пусть, Далее, разностная схема (2) аппроксимирует задачу (1) с порядком т. е. выполнено условие (3). Пусть, сверх того, подсистема (17) соответствует задаче (1) на решении и точно, т. е.

В таком случае для сходимости решения задачи (2) к искомой сеточной функции т. е. для справедливости оценки (7), достаточно, чтобы оценка (5) выполнялась не при произвольных но лишь для всех вида

где

Доказательство дословно совпадает с проведенным выше доказательством теоремы о сходимости.

Читатель легко проверит, что в случае линейного оператора требование, чтобы оценка (5) имела место лишь для всех

вида (19), выполнено одновременно с требованием, чтобы оценка (6) выполнялась для всех того же специального вида

где

Например, при доказательстве сходимости разностной схемы (13) можно было воспользоваться тем, что оба граничных условия

при подстановке в них таблицы решения задачи (4) из § 10 выполняются точно:

Поэтому проверку неравенства (15), означающего устойчивость разностной схемы (13), можно было провести не для произвольной правой части

а только для правых частей вида

когда

В задаче (13) мы справились с проверкой неравенства, означающего устойчивость, и без учета этого упрощающего обстоятельства. В более сложных задачах (для уравнений с частными производными) указанное соображение будет иногда полезно.

В заключение параграфа подчеркнем, что схема доказательства сходимости решения задачи к решению задачи путем проверки аппроксимации и устойчивости носит общий характер. Под можно понимать любое функциональное уравнение, а не только краевую задачу для обыкновенного дифференциального уравнения. Само по себе неважно, решением какой задачи является функция и. Уравнение используется только для конструирования разностного уравнения Поясним эту мысль в п. 3.