§ 2. Разностное уравнение первого порядка

В этом параграфе будет получена формула, выражающая общее решение разностного уравнения первого порядка с постоянными коэффициентами

при довольно слабых ограничениях на

Как показано в § 1, общее решение может быть представлено в виде

где — какое-нибудь частное решение, а — произвольная постоянная.

Таким образом, задача об отыскании общего решения свелась к задаче об отыскании какого-либо одного частного решения

1. Фундаментальное решение.

Сначала построим решение при некоторой специальным образом заданной правой части

Для обозначения такой функции обычно применяется символ Кронекера

Тогда

Решение уравнения

будем обозначать через

Решение называется фундаментальным решением уравнения

потому что, как мы увидим на стр. 23, через него выражаются частные решения этого уравнения при различных, довольно произвольных, правых частях

Итак, мы хотим найти какое-нибудь решение следующих трех групп уравнений:

Пусть при . Тогда все уравнения группы I будут выполнены. Из уравнения И найдем . Уравнения группы III можно переписать в виде рекуррентной формулы из которой последовательно находим

Выпишем теперь сводку формул, выражающих

Это — одно из решений уравнения (I). Прибавляя к нему общее решение соответствующего однородного уравнения получим общее решение уравнения (1):

Фундаментальное решение (2) получается из общей формулы (3) при А = 0.

2. Условие ограниченности фундаментального решения.

Если , то при любом значении постоянной А получаем

фундаментальное решение ограниченное по абсолютной величине как при так и при Выделим из общей формулы (3) ограниченное фундаментальное решение в случае . Если то неограниченно возрастает при . Поэтому ограниченное решение получается только при . Оно задается формулой (2).

Рис. 2.

Если , то ограниченное решение получается только при (рис. 2,6):

3. Частное решение.

Частное решение уравнения

с произвольной правой частью можно записать в виде ряда

где — какое-нибудь фундаментальное решение, если только этот ряд сходится.

Покажем это, воспользовавшись равенством

которое получается из равенства (1), если в нем всюду заменить на . Подставляя сходящийся ряд (6) в левую часть уравнения (5), получим

Ряд (6) может оказаться расходящимся, если не делать никаких предположений о поведении правой части разностного уравнения. В самом деле, если положить , то

и ряд (6) при фиксированном содержит бесконечное число одинаковых членов, отличных от нуля.

Теорема. Пусть ограниченное фундаментальное решение и f ограничены по модулю, т. е. . Тогда ряд

заведомо сходится.

Доказательство. Проведем его только для случая Читатель после этого без труда рассмотрит противоположный случай.

При наших предположениях каждый член ряда

может быть по абсолютной величине оценен сверху членом сходящейся геометрической прогрессии

Отсюда следует сходимость ряда а также оценка

которая показывает, что решение (6) получилось ограниченным. Других ограниченных решений уравнение

не имеет, так как любое решение получается из (6) прибавлением некоторого решения соответствующего однородного уравнения. Решение должно быть ограниченным, как разность двух ограниченных решений, что возможно лишь при