ВВЕДЕНИЕ

Многие прикладные и теоретические задачи современного естествознания приводят к дифференциальным уравнениям. Исследование задачи может считаться законченным только после того, как эти уравнения решены.

В некоторых случаях удается указать формулу, выражающую решение через хорошо изученные элементарные функции. Однако, как правило, это принципиально невозможно. Поэтому получение явных формул не может считаться регулярным процессом, ведущим к решению дифференциальных уравнений. Нельзя сказать, что этот аналитический подход полностью утратил свое значение. Он остается необходимым и очень мощным инструментом изучения упрощенных, так называемых модельных задач. Изучение хорошо подобранной модельной задачи позволяет делать некоторые заключения о характере поведения решения неупрощенной, исходной задачи.

Но наряду с этим аналитическим подходом все шире используются различные методы численного решения дифференциальных уравнений. Их широкое использование стало возможно с появлением быстродействующих вычислительных машин, которые могут запоминать большие таблицы чисел и производить над ними арифметические действия по заданной программе. В соответствии с указанными возможностями машин любой численный метод состоит в переходе от искомого решения к некоторой искомой таблице чисел и к указанию последовательности арифметических действий для их вычисления. Можно, например, искать несколько первых коэффициентов разложения решения в степенной или тригонометрический ряд. Здесь излагается теория численного решения дифференциальных уравнений с помощью метода конечных разностей. Сущность этого наиболее универсального численного метода состоит в том, что за искомый набор чисел принимается таблица значений решения в точках некоторого множества, называемого обычно сеткой. Для вычисления искомой таблицы используются алгебраические уравнения, приближенно заменяющие дифференциальное.

Поясним это на простейшем примере разностной схемы для приближенного вычисления решения уравнения

удовлетворяющего начальному условию Зададим и вместо функции будем искать таблицу ее значений

Заменим производную разностным отношением

ее приближающим. Шаг h таблицы должен быть выбран достаточно малым. После такой замены вместо дифференциального уравнения мы получаем приближающее его разностное уравнение

которое позволяет приближенно вычислить искомую таблицу. Для этого перепишем разностное уравнение в виде рекуррентной формулы

Полагая последовательно х = 0, h, 2h,..., получим

Выбрав получим

вместо точного решения

Однако, как это хорошо известно из курса математического анализа, при достаточно малом h или, что то же самое, при достаточно большом N величина мало отличается от . Тем самым показано, что приближенное решение, полученное по этой разностной схеме и зависящее от шага h, при измельчении шага сходится к точному решению дифференциального уравнения.

Другой пример разностного уравнения, приближающего то же дифференциальное уравнение

мы получим, заменяя производную разностным отношением

Это уравнение имеет вид

Для дифференциального уравнения

можно построить разностный аналог, заменяя например, следующим приближенным выражением:

Первую производную можно заменить одним из уже употреблявшихся разностных отношений. После таких замен получим разностное уравнение

В случае дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами составление разностных схем не усложняется. Если, например, требуется вычислить решение уравнения

у которого коэффициент А является функцией от х, то это можно сделать с помощью разностного уравнения

Так же легко «справляются» разностные схемы и с нелинейными уравнениями. Например, уравнение

может быть решено приближенно по схеме

Из рассмотрения примеров может сложиться впечатление, что составление разностной схемы и решение по ней дифференциального

уравнения не представляет трудностей. Это впечатление обманчиво.

Уже в самых простых случаях, даже при решении линейных уравнений с постоянными коэффициентами, часто бывает, что, казалось бы, разумная разностная схема имеет решение, не сходящееся при измельчении сетки к искомому решению дифференциального уравнения. Понятно, что по такой схеме нельзя вычислить искомую функцию со сколь угодно высокой точностью.

Далее, после того как сходящаяся разностная схема построена, необходимо вычислить решение возникающей системы алгебраических уравнений относительно большого числа неизвестных значений функции в узлах сетки. Это во многих важных случаях непросто. Иногда можно обойти указанное препятствие, выбрав сходящуюся разностную схему другой конструкции так, чтобы возникающую систему линейных уравнений легко было решить точно; в некоторых других случаях разработаны приемы приближенного вычисления решений разностных задач с любой наперед заданной точностью.

Каждый, кто занимается численным решением дифференциальных уравнений, должен знать трудности, связанные с построением и использованием разностных схем, и способы их преодоления.