ГЛАВА 13. КОНСТРУКЦИЯ ОПЕРАТОРА ПЕРЕХОДА

§ 40. Слоистая структура решений эволюционных задач

Во всех рассмотренных выше примерах эволюционных разностных схем

задавались значения решения одном или нескольких начальных слоях сетки. Значения на последующих слоях шаг за шагом определялись из уравнений,составляющих разностную краевую задачу (1). Под слоем мы понимаем совокупность точек сетки лежащих на прямой (или плоскости) . В дальнейшем будем считать, что рассматриваемые разностные схемы (1) обладают указанной слоистой структурой.

Пример 1. Рассмотрим разностную схему

аппроксимирующую задачу о распространении тепла

Зная значения решения в точках слоя , т. е. зная сеточную функцию

аргумента , мы можем последовательно вычислить, значения сеточных функций и т. д., пользуясь формулой

Сеточная функция задана.

Итак, решение определенное на двумерной сетке

в плоскости естественным образом расслоилось и заменилось последовательностью функций

определенных на одномерных сетках. Одномерные сетки, на которых определены , при всех одинаковы (рис. 51, а), так что их можно считать различными экземплярами одной и той же сетки. Мы изобразили эту одномерную сетку на рис. 51, б.

Рассмотрим линейное пространство U функций, определенных на одномерной сетке (см. рис. 51, б). К нему принадлежат, в частности, сеточные функции . Это линейное пространство будем считать нормированным: Норма элемента может быть задана, например, одним из равенств

Рис. 51.

В определении устойчивости и сходимости участвует норма решения разностной краевой задачи (1). Мы будем пользоваться только такими нормами при выборе которых учтен слоистый характер решения а именно выполнено равенство

где пробегает значения , т. е. все те значения, при которых области определения сеточных функций принадлежат двумерной области определения решения

Пример 2. Рассмотрим разностное уравнение

которое является разностным аналогом дифференциального уравнения

В отличие от примера 1, решение и этого разностного уравнения еще не определяется по своим значениям в точках одного слоя Здесь необходимо знать значения

в точках сетки двух слоев: т. е. вектор функцию (рис. 52, а)

По значениям и в силу уравнения (10) последовательно опре деляются и т. д. В связи с этим за пространство примем пространство вектор-функций (рис. 52, б)

с некоторой нормой Относительно этой нормы заметим следующее.

Рис. 52.

Решение дифференциального уравнения (11) определяется двумя функциями:

разностными аналогами которых являются соответственно сеточные функции

и

Поэтому всякая естественная норма в пространстве (Д должна, зависеть от обеих этих сеточных функций. Можно положить, например,

или

После введения нормы в пространстве автоматически по формуле (9) вводится норма в пространстве U сеточных, функций, определенных на двумерной сетке:

Номер пробегает все те значения при которых области определения сеточных вектор-функций принадлежат двумерной области определения сеточной функции

При нашем условии всегда пользоваться нормами вида (9) неравенство

означающее в случае линейности оператора устойчивость, равносильно выполнению неравенства

при всех тех р, при которых функции определены. Это оказывается удобным при исследовании устойчивости.

ЗАДАЧИ

1. Указать, пространство для разностной схемы

состоит из тех точек сетки, которые лежат на боковой границе параллелепипеда .

2. Указать пространство для разностной схемы расщепления

Г — боковая граница параллелепипеда .