Главная > Разностные схемы
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

ГЛАВА 13. КОНСТРУКЦИЯ ОПЕРАТОРА ПЕРЕХОДА

§ 40. Слоистая структура решений эволюционных задач

Во всех рассмотренных выше примерах эволюционных разностных схем

задавались значения решения одном или нескольких начальных слоях сетки. Значения на последующих слоях шаг за шагом определялись из уравнений,составляющих разностную краевую задачу (1). Под слоем мы понимаем совокупность точек сетки лежащих на прямой (или плоскости) . В дальнейшем будем считать, что рассматриваемые разностные схемы (1) обладают указанной слоистой структурой.

Пример 1. Рассмотрим разностную схему

аппроксимирующую задачу о распространении тепла

Зная значения решения в точках слоя , т. е. зная сеточную функцию

аргумента , мы можем последовательно вычислить, значения сеточных функций и т. д., пользуясь формулой

Сеточная функция задана.

Итак, решение определенное на двумерной сетке

в плоскости естественным образом расслоилось и заменилось последовательностью функций

определенных на одномерных сетках. Одномерные сетки, на которых определены , при всех одинаковы (рис. 51, а), так что их можно считать различными экземплярами одной и той же сетки. Мы изобразили эту одномерную сетку на рис. 51, б.

Рассмотрим линейное пространство U функций, определенных на одномерной сетке (см. рис. 51, б). К нему принадлежат, в частности, сеточные функции . Это линейное пространство будем считать нормированным: Норма элемента может быть задана, например, одним из равенств

Рис. 51.

В определении устойчивости и сходимости участвует норма решения разностной краевой задачи (1). Мы будем пользоваться только такими нормами при выборе которых учтен слоистый характер решения а именно выполнено равенство

где пробегает значения , т. е. все те значения, при которых области определения сеточных функций принадлежат двумерной области определения решения

Пример 2. Рассмотрим разностное уравнение

которое является разностным аналогом дифференциального уравнения

В отличие от примера 1, решение и этого разностного уравнения еще не определяется по своим значениям в точках одного слоя Здесь необходимо знать значения

в точках сетки двух слоев: т. е. вектор функцию (рис. 52, а)

По значениям и в силу уравнения (10) последовательно опре деляются и т. д. В связи с этим за пространство примем пространство вектор-функций (рис. 52, б)

с некоторой нормой Относительно этой нормы заметим следующее.

Рис. 52.

Решение дифференциального уравнения (11) определяется двумя функциями:

разностными аналогами которых являются соответственно сеточные функции

и

Поэтому всякая естественная норма в пространстве (Д должна, зависеть от обеих этих сеточных функций. Можно положить, например,

или

После введения нормы в пространстве автоматически по формуле (9) вводится норма в пространстве U сеточных, функций, определенных на двумерной сетке:

Номер пробегает все те значения при которых области определения сеточных вектор-функций принадлежат двумерной области определения сеточной функции

При нашем условии всегда пользоваться нормами вида (9) неравенство

означающее в случае линейности оператора устойчивость, равносильно выполнению неравенства

при всех тех р, при которых функции определены. Это оказывается удобным при исследовании устойчивости.

ЗАДАЧИ

1. Указать, пространство для разностной схемы

состоит из тех точек сетки, которые лежат на боковой границе параллелепипеда .

2. Указать пространство для разностной схемы расщепления

Г — боковая граница параллелепипеда .

1
Оглавление
email@scask.ru