3. Оценка фундаментального решения через коэффициенты разностного уравнения.
В п. 2 мы видели, что характер поведения фундаментального решения 
уравнения (9) существенно зависит от расположения корней 
характеристического уравнения
на комплексной плоскости. Для приложений особенно важен случай, когда а, b, с вещественны, а корни 
один меньше, а другой больше единицы по модулю:
Здесь мы укажем удобный необходимый и достаточный признак такого расположения корней, не требующий их вычисления.
Теорема. Корни 
уравнения (4) с вещественными коэффициентами один больше, а другой меньше единицы по модулю в том и только том случае, если выполняется оценка вида
где 
— некоторое число, причем в случае выполнения (17)
Доказательство. Заметим, что
Если (17) не выполнено ни при каком 
, то числитель дроби (17) равен нулю или отрицателен.
В первом случае 
т. е. 1 или —1 является корнем уравнения (4), и (16) не выполнено.
Во втором случае 
, т. е. в точках 
многочлен 
принимает значения одного знака. Поэтому многочлен 
не может иметь на отрезке 
ровно один корень. Этих корней либо два, либо ни одного.
Если корней два, то оба они меньше единицы по модулю, и (16) не выполнено. Если на отрезке 
корней нет, то либо вещественных корней вообще нет, они комплексно-сопряженные и равные по модулю, либо оба вещественных корня больше единицы по модулю, и (16) снова не выполнено.
Если при некотором 
условие (17) выполнено, то 
значения 
на концах отрезка 
имеют разные знаки, так что на этом отрезке лежит ровно один корень. Тогда второй корень, тоже вещественный, лежит вне этого отрезка, так что (16) при некотором 
выполнено. Уточним последний результат, а именно получим оценку (18), Из (17) следует
Поэтому
Отсюда видно, что выражения
имеют разные знаки, так что многочлен 
на отрезке 
имеет корень 
. Очевидно, что числа
обратные корням уравнения (4), удовлетворяют уравнению
с коэффициентами 
удовлетворяющими тому же условию (17):
Поэтому один из корней 
удовлетворяет неравенству 
Этим корнем может быть только 
, что и завершает доказательство оценок (18).
Для уравнения с вещественными коэффициентами при условии (17) автоматически выполнены условия (10), а значит, и оценка (15) для ограниченного частного решения и неоднородного разностного уравнения (9).
