2. Устойчивость как равномерная ограниченность норм степеней Rh.

Сформулируем теперь два условия, соблюдение которых при приведении какой-либо разностной схемы (4) к виду (3) позволяет утверждать, что в случае справедливости неравенств (5) есть устойчивость.

Условие 1°. Имеют место неравенства

где не зависит от пробегает все те значения, при которых имеет смысл.

Услвие 2°. Имеет место оценка

где некоторая постоянная, не зависящая от h и

Условия 1° и 2° требуют определенного согласования выбора норм в пространствах и выбора оператора вектора однозначно зависит от выбора оператора ). Отметим, что в рассмотренном нами примере приведения разностной схемы (7) к виду (3) эти условия выполнены. Чтобы убедиться в этом, достаточно сопоставить нормы сеточных функций

с равенством (10), определяющим норму

Числа в этом примере можно считать равными единице.

Докажем теперь, что если при приведении разностной краевой задачи (4) к виду (3) выполнены условия 1° и 2°, то для устойчивости разностной схемы (4) достаточно, чтобы выполнялись оценки (5). Нам надо показать, что оценки

где — некоторое число, не зависящее от справедливы при всех при которых области определения сеточных функций принадлежат области определения решения

Из уравнения

следует, что

По условию

Из этого неравенства и равенства (11) вытекает оценка

Учитывая условия 1° и 2°, в силу которых

оценку (12) можно заменить следующей:

где число не зависит от и Устойчивость доказана.

Воспользуемся установленным достаточным признаком устойчивости и покажем, что разностная схема (7) при устойчива.

Именно убедимся, что для оператора который мы ввели по формулам (9) при приведении разностной схемы (7) к каноническому виду (3), выполнено неравенство а значит, неравенство При имеют место оценки

Из этих оценок вытекает, что Итак, при достаточный признак устойчивости выполнен. Можно показать, что если постоянная то достаточный признак устойчивости не выполнен. Возникает вопрос, не теряется ли устойчивость и в общем случае, когда неравенства перестают быть верными. Оказывается, что действительно справедливость неравенств необходима для устойчивости, если только выполнено некоторое условие 3°, которое мы сформулируем сейчас в общем виде и которое выполнено для рассматриваемого примера. Условие 3°. Пусть разностная краевая задача (4) приведена к виду (3). Возьмем какую-нибудь функцию из и построим сеточные функции по рекуррентным формулам Совокупность сеточных функций каждая из которых принадлежит образует некоторую сеточную функцию из пространства Вычислим для нее

Будем говорить, что при приведении разностной схемы (4) к каноническому виду (3) выполнено условие 3°, если справедлива оценка вида

где постоянная не зависит от из и не зависит от

Убедимся, что в описанном выше приведении разностной схемы (7) к каноническому виду (3) условие 3° выполнено. Действительно, задавшись произвольной функцией получим

При нашем выборе норм имеет место равенство

Докажем теперь, что если при приведении разностной схемы (4) к каноническому виду (3) выполнено условие 3°, то для ее устойчивости на отрезке необходимо, чтобы выполнялись оценки (5):

где К — какое-нибудь число, не зависящее от

Если сформулированный признак не выполнен, то при любом К можно указать такие и сеточную функцию. что

Построив по векторы и образовав из сеточную функцию мы из условия 3° заключаем, что для нее

В то же время

Отсюда ясно, что

Это неравенство из-за произвольности К и означает неустойчивость.

Теперь подведем итог рассмотрениям этого параграфа. Мы показали, что, приводя разностную схему (3)

можно использовать затем оператор для исследования устойчивости. Именно, доказана следующая

Теорем а. Если при приведении разностной схемы (4) к виду (3) соблюдено условие 3°, то для устойчивости необходимо, чтобы выполнялось неравенство

где К — некоторое число, не зависящее от h. Если приведение к виду (3) проведено с соблюдением условий 1° и 2°, то оценки (13) достаточны для устойчивости.

Мы должны обратить внимание читателя на то, что обычно расслоение сеточной функции и и приведение разностной схемы к каноническому виду (3) могут быть проведены несколькими различными способами. Однако мы не будем на этом подробно останавливаться (см. § 14, где этот вопрос обсуждался в случае разностных схем для обыкновенных дифференциальных уравнений).