§ 11. Аппроксимация дифференциальной краевой задачи разностной схемой

1. Невязка.

Придадим точный смысл понятию аппроксимации дифференциальной краевой задачи (1) из § 10

на решении и разностной схемой (11) из § 10

Для этого надо уточнить, что такое невязка

возникающая при подстановке сеточной функции таблицы искомого решения — в уравнение (2), а также что такое ее величина.

Стремление величины невязки к нулю при мы и примем затем за определение аппроксимации.

Начнем с рассмотрения примера разностной схемы для численного решения дифференциальной краевой задачи

За сетку по-прежнему примем совокупность точек . В качестве разностной схемы для приближенного вычисления воспользуемся совокупностью равенств

возникшей при замене производных в (4) по приближенным формулам

Разностная схема (5) записывается в форме (2), если обозначить

Для вычисления и оценки величины невязки возникающей при подстановке в уравнение (2), уточним формулы (6).

По формуле Тейлора имеем

Здесь — некоторые промежуточные точки отрезка .

Отсюда

2. Вычисление невязки. Будем считать, что решение задачи (4) имеет ограниченные производные до четвертого порядка. В силу формул (8) можно написать

Поэтому выражение

можно переписать так:

или

где

Удобно считать, что заданные формулами (7) и (9), принадлежат линейному нормированному пространству которое состоит из элементов вида

где , а также — произвольная упорядоченная система чисел; можно считать, что — это совокупность сеточной функции и упорядоченной пары чисел Сложение двух элементов пространства и умножение элементов на числа производятся покомпонентно. Ясно, что в рассматриваемом примере есть (N+1)-мерное линейное пространство. Норма в может быть введена многими способами. Если ввести в норму равенством

т. е. принять за норму максимум абсолютных величин всех компонент вектора то в силу (9) получим

где С — некоторая постоянная, зависящая от но не зависящая от .

Из этого неравенства следует стремление невязки к нулю при .

В уравнении подробно записанном равенствами (5), которое мы рассмотрели в качестве примера, на можно смотреть как на оператор. Этот оператор каждой сеточной функции из линейного пространства функций, определенных на сетке ставит в соответствие некоторый элемент вида (10) из линейного пространства по формуле

Условимся и в общем случае разностной краевой задачи (2) считать, что правые части тех скалярных уравнений, которые в совокупности записаны символическим равенством

являются компонентами вектора из некоторого линейного нормированного пространства . Тогда на можно смотреть как на оператор, ставящий в соответствие каждой сеточной функции из некоторый элемент из

В таком случае имеет смысл выражение возникающее в результате применения оператора к сеточной функции из и являющееся элементом пространства

Невязка принадлежит пространству как разность двух элементов этого пространства. Под величиной невязки следует понимать