3. Примеры разностных схем для задачи Дирихле.

Воспользуемся условием Куранта, Фридрихса и Леви для анализа двух разностных схем, аппроксимирующих следующую задачу Дирихле для уравнения Пуассона:

в квадратной области с границей Г. Построим сетку , где — целое число» (рис. 19, а). К сетке отнесем те точки которые попали внутрь квадрата D или на его границу. Рассмотрим разностную схему, аппроксимирующую задачу (12):

Рис. 19.

Схема (13) получена путем замены производных разностными отношениями, и аппроксимация не вызывает сомнения. Мы докажем ее устойчивость в § 34 и изложим способы вычисления решения в §§ 35—37. Но обратим внимание на то, что вычислить ее решение не просто, так как система уравнений для определения значений сеточной функции при малых h достаточно сложна. Сама эта сложность побуждает выяснить, нельзя ли построить схему, решения которой вычисляются просто. На первый взгляд, можно воспользоваться схемой

Аппроксимация, очевидно, в этом случае есть, так как схема получена путем замены производных разностными отношениями, а граничное условие аппроксимировано точно. Каждое уравнение из первой группы уравнений связывает значения решения в пяти точках сетки, изображенных на рис. 19, б. Вторая группа уравнений при фиксированном связывает значения решения в пяти точках сетки, изображенных на рис. 19, в.

Рассмотрим совокупность уравнений первой группы, отвечающих фиксированному значению , а именно и всю вторую труппу уравнений совместно. Полученная система уравнений связывает значения причем заданы граничными условиями. Эту систему можно решить, определив . Затем используем разностное уравнение из первой группы уравнений при и определим по явной формуле, разрешая это уравнение относительно единственной входящей в него неизвестной величины Продвигаясь слой за слоем от мы вычислим в силу уравнений первой группы решение во всех внутренних точках сетки. Значения же в граничных точках сетки заданы с самого начала.

Однако эта на первый взгляд удобная схема совершенно непригодна. Известно, что решение задачи Дйрихле для уравнения Лапласа зависит в каждой точке от значений всюду на границе. А в построенной нами разностной схеме вычисление решения во всех внутренних точках происходит без

использования значения на верхней стороне квадрата. Эта разностная схема не может оказаться сходящейся. Сложность, присущая схеме (13), связана с существом дела.

В заключение подчеркнем еще раз, что условие Куранта, Фридрихса и Леви не является достаточным условием устойчивости. В § 25 будет, в частности, показано, что разностная схема

неустойчива при любом Эта схема аппроксимирует задачу Коши

для которой мы уже рассмотрели несколько других схем. Легко проверить» в то же время, что эта схема при удовлетворяет необходимому условию устойчивости.

Чтобы сделать это, возьмем опять, для определенности, точку (0, 1) на плоскости и будем считать, что она принадлежит сетке при всех что , где N — целое. Значение вычисляется через значения: Эти три значения вычисляются затем через пять значений; предыдущем слое и т. д. В конечном счете вычисляется очевидно, через значения в точках сетки, принадлежащих отрезку на оси Ох. Если , то этот отрезок содержит точку значение в которой определяет Условие Куранта, Фридрихса и Леви при выполнено.