БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ КОММЕНТАРИИ

К гл. 1, §§ 1, 2. С общей теорией линейных разностных уравнений можно познакомиться, например, по гл. V книги [7].

К гл. 2, § 5. С методом прогонки к его обоснованием для некоторого класса разностных краевых задач авторы впервые познакомились в 1953 году по рукописи статьи И. М. Гельфанда и О. В. Локуциевского «Метод прогонки для решения разностных уравнений» (см., например, [10]). Существуют варианты прогонки, предназначенные для вычисления решений разностных краевых задач, не рассмотренных в нашей книге. С результатами и библиографией можно познакомиться по книгам [4], [15], [23] и др.

К гл. 3. Идея использовать при обосновании прогонки непосредственно-свойство хорошей обусловленности разностной краевой задачи была высказана Н. С. Бахваловым. Некоторые шаги в осуществление этой идеи были сделаны при изложении прогонки в книге [10], а затем В. В. Огневой, ЖВМ и МФ 7, № 4 (1967), которой принадлежит идея рассмотрения урезанных систем. Модифицированное изложение этой работы имеется в книге [8].

Приведенное в § 6 обоснование хорошей обусловленности разностной краевой задачи использует дипломную работу студента Новосибирского университета Багисбаева, которому, в частности, принадлежит пример, показывающий, что условие гладкости коэффициентов нельзя игнорировать.

К гл. 6, §§ 19, 20. Подробнее познакомиться с методами численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений можно по книге [4] и указанной в ней литературе.

Разностные схемы для некоторых важных классов дифференциальных уравнений с разрывными коэффициентами .построены в теории однородных разностных схем А. Н. Тихонова и А. А. Самарского и изложены в одной и» глав книги [23].

К гл. 7, § 21. Понятие устойчивости разностных схем относительно ошибок округления при задании начальных данных впервые описано Дж. фон Нейманом и Р. Д. Рихтмайером в 1950 году (см. сб. переводов «Механика», в. 1, 1951) в работе, посвященной расчету газодинамических скачков. Первая система определений устойчивости и аппроксимации, при которой сходимость является следствием аппроксимации и устойчивости, была предложена В. С. Рябеньким, ДАН СССР 86, № 6 (1952), в случае разностных аналогов задачи Коши для систем уравнений с частными производными.

Принятая в нашей книге система основных определений и теорема о том, что из аппроксимации и устойчивости следует сходимость, близки к предложенным А. Ф. Филипповым, ДАН СССР 100, № 6 (1955). См. также [22] или [10]. Отличие состоит главным образом в том, что мы используем более универсальное, чем А. Ф. Филиппов, определение аппроксимации.

Существуют другие естественные системы определений основных понятий, при которых аппроксимация и устойчивость обеспечивают сходимость. Среди них наиболее известна система определений П. Д. Лакса, предложенная в 1956 году (см., например, [20]): В теории Лакса рассматриваются разностные схемы для нестационарных задач, причем предполагается, что эти

разностные схемы действуют не в пространстве сеточных функций, а в том же функциональном пространстве, что и дифференциальное уравнение. При этом (дополнительном) предположении доказывается, что для аппроксимирующей разностной схемы устойчивость и сходимость имеют место одновременно. Эта теорема эквивалентности Лакса является одной из конкретизаций более общей конструкции Л. В. Канторовича, УМН 3, в 6 (1948).

В последние годы А. А. Самарский предложил и развил в соавторстве с А. В. Гулиным теорию устойчивости, применимую к весьма широкому классу разностных схем (см. [23], [24] и § 43 настоящей книги).

С новыми результатами, библиографией и обзорами работ по устойчивости разностных схем можно познакомиться по книгам [10], [15], [20]-[28].

Следует сказать, что в работе 1928 года Р. Куранта, К. Фридрихса и Г. Леви (см. УМН 8 (1940)) и во многих других работах, где метод конечных разностей используется для доказательства существования решений дифференциальных уравнений, устанавливаются неравенства, которые в современной терминологии можно истолковать как устойчивость в тех или иных нормах. Однако понятие устойчивости возникло в связи с использованием разностных схем для приближенного вычисления решений в предположении, что эти решения существуют. Поэтому устойчивость изучается обычно в более слабых нормах, чем это нужно для доказательства существования.

Отметим, что впервые метод конечных разностей был использован для доказательства существования решений уравнений с частными производными в 1924 году Л. А. Люстерником (см. УМН 8 (1940)), который рассматривал уравнение Лапласа.

К гл. 7, § 22, п. 3. Излагаемый здесь прием построения разностных схем предложен в работах: P. L. I. Brian, A. I. Ch. Е. J. 7 (1961); J. Douglas, Num. Math. 4 (1962); J. Douglas, Trans. Amer. Soc. 89 (1958); С. К. Годунов, Разностные методы решения уравнений газовой динамики. Новосибирск, 1962 (ротапринт). Двумерный вариант рассмотренной в этом пункте схемы с пересчетом Лакса — Вендрова [20], для газодинамических задач предложен Л. А. Чудовым (см. обзорную статью Г. С. Рослякова и Г. Ф. Теленина в сб. «Численные методы в газовой динамике», М., Изд-во МГУ, в. 2, 1963). Идея метода Рунге — Кутта была применена В. В. Русановым • (препринт ИПМ АН СССР, 1967) для построения разностной схемы третьего порядка точности в случае газодинамических расчетов.

Л. А. Чудов (статья в сб. «Некоторые применения метода сеток в газовой динамике», в. 1. «Течения в пограничном слое», Изд-во МГУ, 1971) для уравнений параболического типа построил разностную схему типа Рунге — Кутта второго порядка точности, обладающую хорошими сглаживающими свойствами. Схемы с пересчетом применяются во многих газодинамических расчетах. См., например, [1]. Существуют и другие методы построения разностных схем (см. [4], [13], [19]-{28]).

К гл. 8, § 25, п. 5. Насколько известно авторам, возможность использовать дифференциальные приближения Для исследования разностных уравнений впервые заметил в 50-х годах А. И. Жуков (сообщение на семинаре ИПМ), которому принадлежит рассмотренный здесь пример. Теория дифференциальных приближений, в которой изучаются асимптотические и групповые свойства интересных классов разностных уравнений, построена Н. Н. Яненко и Ю. И. Шокиным, Сиб. матем. ж. 10, № 5 (1969); Численные методы мех,- сплошной среды, 2, Ns 2 (1971). К этим же вопросам относятся статьи Н. Н. Кузнецова, ДАН 200, № 5, (1971); ДАН 204, № 2 (1972); ЖВМ и МФ, 12, № 12 (1972).

К гл. 8, § 26, п. 1. Идея замораживания коэффициентов во внутренних точках предложена в цитированной выше статье Неймана и Рихтмайера (см. примечание к § 21),

К гл. 8, § 26, п. 2. Признак К. И. Бабенко и И. М. Гельфанда был доложен в их совместном с О. В. Локуциевским докладе на конференции по функциональному анализу в Москве в 1956 году. См. также [2] и примечания к гл. 14, помещенные ниже.

К гл. 8, § 27. Существует очень экономный по числу арифметических действий алгоритм вычисления коэффициентов конечного ряда Фурье, называемый быстрым преобразованием Фурье. См., например, [4] или [15].

В частности, отметим оценку погрешности разностного решения уравнения Пуассона, найденную Е. А. Волковым (Тр. Матем. ин-та им. В. А. Стеклова 117 (1972)) в условиях отсутствия аппроксимации оператора Лапласа со вторым порядком в числе слоев сетки, неограниченно растущем при измельчении шага. Эта оценка в то же время является более сильной, чем равномерная оценка второго порядка, так как она устанавливает дополнительное убывание погрешностей вблизи границы области.

Конечные ряды Фурье для анализа нестационарных разностных уравнений, по-видимому, впервые использовала О. А. Ладыженская. С помощью этого аппарата ею была найдена сходящаяся неявная разностная схема для гиперболических по И. Г. Петровскому систем. По-видимому, это был первый пример сходящейся неявной разностной схемы (О. А. Ладыженская, Автореферат, канд. дисс., ЛГУ, март 1949). См. также ИЗ].

К гл. 9. См. книги [1]-[3], [9], [13], [14], [21], [26] и имеющуюся там библиографию; в сборниках статей и журналах постоянно появляются новые работы по численным методам механики сплошных сред.

К гл. 10. Схема переменных направлений (12) из § 32 построена Д. Писманом и Г. Рэкфордом в 1956 году (см., например, [5] или [28]); схема расщепления (7) из § 31 предложена Н. Н. Яненко, ДАН СССР 125, № 6 (1959). В настоящее время схемы расщепления построены для многих основных задач математической физики. См., например, [5], [15], [23], [27], [28], монографию Е. Г. Дьяконова, Разностные методы решения краевых задач, ч. 1 (1971) и ч. 2 (1972), изд-во МГУ, и имеющуюся там библиографию.

Видоизменение метода переменных направлений, получающееся путем объединения его с вариационным методом Ритца, предложено и использовано для вычисления собственных значений сильноэллиптических операторов и для решения разностного уравнения Лапласа в работах: Г. П. Прокопов, ЖВМ и МФ 8, № 1 (1968); С. К. Годунов и Г. П. Прокопов, ЖВМ и МФ 9, № 2 (1969), С. К. Годунов, В. В. Огнева, Г. П. Прокопов, Сб. «Дифференц. уравнения с частными производными», Труды симпозиума посвященного 60-летию акад. С. Л. Соболева, 1970. Оригинальная конструкция локально-одномерных схем предложена И. В. Фрязиновым (ЖВМ и МФ 13, № 1, 3, 1973).

К гл. 10, § 33. Относительно метода крупных частиц О. М. Белоцерков-ского и Ю. М. Давыдова и его приложений, помимо работы, цитированной в § 33, см. монографию [3]; текст обзорного доклада О. М. Белоцёрковского и В. Е. Яницкого на IV Всесоюзн. конф. по динамике разреженного газа в 1975 году в Звенигороде; текст лекции О. М. Белоцерковского на Карма-новских чтениях 1976 года в Брюсселе.

К гл. II, § 34. Для разностного уравнения Пуассона в прямоугольнике самым экономным способом вычисления решения является быстрое преобразование Фурье (см. примечание к § 27). Разностными схемами для уравнений Лапласа и Пуассона в криволинейных областях, начиная от работы Л. А. Люстерника 1924 года, занимались многие авторы. См., например, [4], [16], [23] и имеющуюся там библиографию.

Оценки погрешности, выражающиеся непосредственно через исходные данные, получены для ряда схем, аппроксимирующих задачи Дирихле, Неймана и смешанную краевую задачу для уравнений Лапласа и Пуассона на прямоугольнике, прямоугольном параллелепипеде и некоторых треугольниках см. Е. А. Волков, Тр. Матем. ин-та им. В. А. Стеклова 74 (1966), 105 (1969), И. А. Султанова, ЖВМ и МФ 11, № 5 (1971) и библ. там же. Е. А. Волков

установил также( Тр. Матем. ин-та им. В. А. Стеклова 128 (1972)), что если разностный оператор в граничных узлах удовлетворяет некоторому условию адекватности стандартному пятиточечному разностному оператору Лапласа, то разностное решение уравнения Пуассона, продолженное с сетки на замкнутую область с криволинейной границей, при достаточно гладких данных задачи аппроксимирует со вторым порядком относительно шага искомое решение вместе с производными до порядка включительно, любое.

К гл. 11, § 35. Идея рассмотрения решений стационарных задач как предела решений нестационарных при возрастании времени впервые использована в 30-х годах А. Н. Тихоновым.

Одна из разностных схем установления для расчета стационарного сверхзвукового обтекания тел газом предложена С. К. Годуновым, А. В. Забродиным и Г. П. Прокоповым, ЖВМ и МФ 1, № 6 (1961), см. [9]. Интересно отметить, что обоснование устойчивости этой схемы, описанное в работе К. А. Багриновского и С. К. Годунова, ДАН СССР 115, № 3 (1957), использует расщепление разностных операторов. Имеется ряд работ многих авторов в направлении расчета стационарных задач установлением.

Один из первых эффективных методов ускорения сходимости при решении разностного уравнения Пуассона указал Л. А. Люстерник, Тр. Матем. ин-та им. В. А. Стеклова 20 (1947).

К гл. 11, § 36. Многочлены Чебышева для выбора оптимального набора итерационных параметров используются в различных задачах, начиная с работ А. А. Абрамова, М. К. Гавурина, Фландерса и Шортли, относящихся к 1950 году.

Новые результаты, библиография и обзоры с различных точек зрения итерационных методов решения разностных эллиптических краевых задач содержатся в книгах [5], [16], [23], [28]; в монографиях Е. Г. Дьяконова, Итерационные методы решения разностных аналогов краевых задач для уравнений эллиптического типа, Киев, 1970 (ротапринт); Г. И. Марчука и Ю. А. Кузнецова, Итерационные методы и квадратичные функционалы, Новосибирск, «Наука» СО, 1972 (ротапринт); в обзорной статье Р. П. Федоренко, УМН 28, № 2 (1973) и в др.

К гл. 12. Основная идея получения вариационно-разностных схем содержится в работе Р. Куранта (Courant R., Bull. Amer. Math. Soc. 49, № 1 (1943)). Независимо в инженерных расчетах прочности часто пользовались без теоретического обоснования различными реализациями вариационно-разностных схем под названием метода конечных элементов.

Систематическому изложению основ теории вариационно-разностных схем и некоторых их приложений посвящена монография Л. А. Оганесяна, В. Я. Ривкинда и Л. А. Руховца «Вариационно-разностные методы решения эллиптических уравнений», ч. 1 и 2, Тр. семинара по дифференц. уравнениям, Ин-т физики и математики АН Литовской ССР, в. 5, Вильнюс, 1973 и в. 8, Вильнюс, 1974. Ротапр., которую мы использовали при работенад этой главой. См. также, например, [12], [18], [25].

В настоящее время вариационно-разностные схемы реализованы в виде (хорошо отработанных программ на быстродействующие вычислительные машины для ряда задач теории упругости. См., например, [12]. Имеются численные реализации проекционно-разностного метода и для некоторых других задач, не только эллиптических. Ряд работ последнего времени помещен в двух сборниках «Вариационно-разностные методы в математической физике», Новосибирск, 1974 и Новосибирск, 1976.

К гл. 13, § 42. Стационарные решения часто используют для выяснения характера сходимости вблизи границ. См., например, С. К. Годунов, Матем. сб. 47 (89), 3 (1957).

К гл. 13, § 43, п. 4. Здесь исяользован написанный А. Ф. Филипповым п. 4 из § 6 книги [22].

К гл. 13, § 43, п. 5. Выбор скалярного умножения по формуле (21), по-видимому, впервые предложен Н. Миньо в 1953 году в частном случае разностного аналога уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами, а в более общей форме — в § 15 книги [22], где имеется также модифицированное изложение упомянутой работы Н. Миньо.

К гл. 13, § 43, п. 6. Первый из критериев устойчивости А. А. Самарского, приведенных в этом пункте, получается из теоремы 5, п. 6, § 1 гл. VI книги [23], если вместо гильбертова пространства рассматривать евклидово и положить . См. также п. 7, § 1, гл. VI книги [23].

К гл. 14, § 44. Понятие спектра семейства разностных операторов введено в книге [10], где авторы с помощью этого понятия, в частности, обосновали признак К. И. Бабенко и И. М. Гельфанда устойчивости нестационарных задач на отрезке. Там же доказано, что расположение спектра семейства операторов в единичном круге необходимо для устойчивости.

Теорема 2 получена В. С. Рябеньким, ДАН СССР 185, № 2 (1969).

К гл. 14, § 46. Понятие ядра спектра семейства операторов введено В. С. Рябеньким, ДАН СССР 185, № 2 (1969). Там же сформулированы теоремы 1—4.

Теорема А. В. Соколова для случая скалярных коэффициентов опубликована в ДАН СССР 208, № 2 (1973). Доказательство в общем случае матричных коэффициентов содержится в его статье, Тр. Моск. матем. общ. 35, Изд-во МГУ, 1976.

К гл. 14, § 47. Здесь изложена статья В. С. Рябенького, ДАН СССР 193, 3 (1970).

К Дополнению. Метод внутренних граничных условий (МВТУ) предложен В. С. Рябеньким, Докт. дисс., Ин-т прикл. математики АН СССР (1969). В пп. 1—9 и 11 изложена часть статьи В. С. Рябенького, УМН 26, № 3 (1971). В этой статье даны также некоторые приложения МВТУ к исследованию и вычислению решений разностных краевых задач в простых и составных областях.

Содержание п. 10 опубликовано в докладе В. С. Рябенького на конференции, посвященной семидесятипятилетию акад. И. Г. Петровского в МГУ (январь 1976).

К п. 2 Дополнения. А. Я. Белянков, Матем. заметки 18, № 5 (1975), доказал существование фундаментального решения, растущего при не быстрее некоторой степени .

Им же построено так называемое циклическое фундаментальное решение, позволяющее строить внутренние граничные условия и допускающее эффективное построение с помощью быстрого преобразования Фурье, статья в сб. «Задачи механики и матем. физики», посвященном памяти акад. И. Г. Петровского, «Наука», 1976.

А. В. Забродин и В. В. Огнева, препринт ИПМ АН СССР (1973), использовали модифицированный ими вариант МВГУ для расчета нелинейной задачи теплопроводности на графах.