§ 9. Неустойчивая разностная схема

1. Способы аппроксимации производной.

Займемся снова разностными схемами для приближенного интегрирования простейшего дифференциального уравнения . Как мы уже видели, для составления разностной схемы, приближающей это уравнение, достаточно заменить производную и каким-либо аппроксимирующим ее разностным отношением. Так, например, мы рассматривали схемы, для которых производная и заменялась через

Очевидно также, что любое выражение вида

будет приближать . В самом деле, подставим в это выражение тейлоровские разложения для :

Тогда получим

Пользуясь такого рода аппроксимацией производной, можно получить целое семейство разностных схем, зависящих от числового параметра.

Эти схемы будут иметь вид

Каждому значению параметра отвечает своя схема. Изучению схем, получающихся при был посвящен § 8.

2. Пример неустойчивой разностной схемы. Рассмотрим теперь еще одну схему такого вида, которая получается из (1) при :

Ее можно переписать еще так:

Как и в ранее рассмотренных примерах, мы будем получать решение на отрезке [0, 1], разбитом точками разностной сетки равных шагов, каждый длины . Координата точки сетки определяется как

Решение разностного уравнения выписывается явно формулой

где корни характеристического уравнения

Вычислим

Мы будем пользоваться еще приближенными выражениями для

Подставив выражения (5) в формулу (3), получим

Прежде чем исследовать, к чему стремится при мы должны указать, как задаются начальные значения разностного решения.

Так же, как и в § 8, будем разыскивать решение, удовлетворяющее условию и возьмем в качестве разностных начальных данных . Подставим эти начальные данные в формулу (6) и упростим по отдельности каждое слагаемое.

Первое и второе слагаемые примут соответственно вид

Таким образом, мы получили

Первое слагаемое этой формулы при стремится к т. е. к искомому решению. Значит, для того чтобы к этому решению сходилось все выражение для необходимо, чтобы второе слагаемое сходилось к нулю. Однако оно при стремится не к нулю, а к бесконечности. В самом деле, стремится к конечному и не равному нулю пределу стремится к бесконечности быстрее любой положительной степени .

Мы показали, что разностная схема, аппроксимирующая дифференциальное уравнение, может иметь решение, не сходящееся при к решению дифференциального уравнения. Можно подумать, что причина этого в недостаточно точном выборе . Однако мы сейчас покажем, что сходимости не будет, даже если выбрать точно равным решению дифференциального уравнения при , т. е. если положить . Начнем с того, что упростим выражения, входящие в формулу (6):

Подставив эти выражения в формулу (6), получим

Второй член правой части этого равенства снова стремится к бесконечности, тогда как первый остается ограниченным. Поэтому стремится к бесконечности и все решение разностного уравнения.

Причина того, что разностная схема (2) не дает сходимости при как мы видели, состоит в том, что она может иметь быстро возрастающие при уменьшении шага h решения, даже если начальные данные заданы вполне разумно.

Такого рода разностные схемы называются неустойчивыми. Естественно, что они непригодны для численного решения дифференциальных уравнений.