§ 17. Количественная характеристика устойчивости

Начнем с рассмотрения хорошо известного примера разностной схемы

для дифференциальной краевой задачи

Ее решение имеет вид

(см. (3) из § 8; полагаем b = 1). Выражение (6) из § 8

представляет собою остаточный член, т. е. ошибку от замены значения точного решения дифференциального уравнения решением разностной задачи. Остаточный член стремится к нулю, как первая степень эта схема имеет первый порядок точности. Выбор шага h зависит от точности, которую мы хотим достичь. Ясно, что модуль отношения ошибки к точному решению должен быть во всяком случае меньше единицы, чтобы приближенное решение можно было считать сколько-нибудь точным.

Посмотрим, при каких h это условие выполняется. В выражении пренебрежем слагаемым и рассмотрим отношение ошибки в точке к точному решению:

Возьмем А = 20 и будем рассматривать это отношение в точке Тогда из условия получим

Теперь выясним, какие шаги требуются для интегрирования той же задачи и по схеме второго порядка точности

если по-прежнему А = 20 и ставится та же цель удовлетворить условию

Решение этой задачи имеет вид (см. равенство (12) из § 8 при

Ошибка, таким образом, имеет вид

Пренебрежем слагаемым выпишем отношение ошибки к точному решению и определим шаг из условия (3). Этот шаг окажется столь малым, что если условно принять машинное время расчета по схеме (1) за одну секунду, то по схеме (2) придется затратить около четырех суток!

Дело в том, что оценку практической пригодности той или иной схемы для решения определенной задачи следует делать не только по степени h, входящей в выражение, погрешности, но еще и по коэффициенту при этой степени.

Теперь постараемся понять, как можно судить о пригодности той или иной разностной схемы из исследования ее устойчивости. Для краткости записей будем считать оператор линейным. Напомним (см. § 12), что разностная схема называется устойчивой, если при любом она однозначно разрешима, причем решение удовлетворяет оценке

Доказывая в § 12 теорему о том, что из аппроксимации и устойчивости следует сходимость, мы получили для погрешности неравенство

в котором представляет собой оценку величины погрешности аппроксимации:

Пусть ошибка аппроксимации мала. Из оценки для видно, что для малости величины надо

еще, чтобы не был слишком велик коэффициент С, характеризующий устойчивость.

Поэтому, если мы хотим выяснить пригодность той или иной разностной схемы для решения интересующей нас задачи, мало знать, что схема устойчива. Нужно еще знать примерно величину коэффициента С, суждение о которой можно получить способами, указанными в §§ 14, 15, экспериментальными расчетами или каким-нибудь косвенным образом.

Подсчитаем, например, коэффициент С для разностных схем (1) и (2) решения задачи , о которых шла речь в начале параграфа.

Сначала рассмотрим схему

при нормах

Приведем ее к виду

положив . Положим . Тогда условия (17) из § 14 выполнены:

причем можно положить .

Далее, очевидно, . Поэтому можно положить Отсюда

Покажем, что число С нельзя взять существенно меньшим. Нормы выбраны нами так, что выполнены и условия (6) и (7) из § 15:

а при также

причем можно положить . Поэтому постоянная С - обязана удовлетворять, как установлено в § 15, оценке

Теперь оценим постоянную С, входящую в определение устойчивости для разностной схемы (2). Запишем ее в виде

положив для этого

Выберем нормы

Тогда выполнены условия (5)-(7), причем Поэтому в силу п. 3 из § 14 в качестве постоянной С можно взять число в силу из § 15 нельзя более чем вдвое уменьшить его: заведомо должно быть

Оценка сверху для величины была получена в § 14:

Поэтому можно положить

Оценку снизу для получим из условия , где — большее по модулю из двух собственных чисел матрицы . Решая уравнение , найдем собственные числа:

так что

Поэтому найденную выше постоянную заведомо нельзя заменить числом меньшим, чем , т. е. нельзя существенно уменьшить.

Рис. 4.

При для первой схемы для второй заведомо

При или в свойствах устойчивости обеих схем нет коренного различия: постоянная С для обеих схем примерно одинакова.

Легко понять механизм, в силу которого при постоянная С для второй схемы много больше единицы, в то время как для первой .

Общее решение однородного уравнения соответствующего схеме (1), есть , где q — корень характеристического уравнения (рис. 4). Общее решение однородного уравнения

соответствующего схеме (2), есть

где — корни характеристического уравнения

Корень «похож» на корень , и ему соответствует решение q, похожее на решение первого уравнения. Но «паразитический» корень дает быстро возрастающее «паразитическое» решение которое и обусловливает большое значение С.

При отрицательных А будет .

Рис. 5.

Рис. 6.

Решения соответствующие корням q и примерно одинаково быстро растут, а паразитическое решение q затухает, не оказывая влияния на характер устойчивости второй схемы (рис. 6).

Отметим, что большое значение С при неизбежно для любой разностной схемы, приближающей задачу и . В самом деле, при малых h решение устойчивой разностной задачи похоже на решение дифференциальной задачи, к которому оно при сходится. Но решение дифференциальной задачи таково, что в большое число раз превосходит модуль начального значения

Мы должны еще отметить, что большой коэффициент С ведет не только к необходимости расчетов с мелким шагом, но и

к большому числу десятичных знаков, с которым приходится вести вычисления.

В самом деле, в § 16 мы показали, что ошибки округления можно включить в ошибки при задании правых частей, которые оцениваются величиной . Увеличение этих ошибок вызывает увеличение коэффициента что при большом С в силу (4) может катастрофически сказаться на точности результата.

В заключение этого параграфа мы хотели бы еще предостеречь читателя от ложного впечатления о схемах второго порядка точности, которое могло у него создаться из рассмотренного примера. Мы вовсе не хотим опорочить все такие схемы, описывая недостатки одной из них. Читателю будет очень полезно провести самостоятельное изучение схемы второго порядка точности вида

Стремясь добиться, чтобы при погрешность была меньше, чем он убедится, что эта схема накладывает менее жесткое ограничение на шаг h, чем схема первого порядка точности (1).

Кроме того, советуем прикинуть, с каким шагом надо интегрировать задачу и чтобы получить в u(1) погрешность не более Если читатель проделает эту прикидку для рассмотренных в начале параграфа разностных схем (1) и (2), то увидит, что схема первого порядка точности (1) требует значительно более мелкого шага, чем схема второго порядка точности (2).

Таким образом, выгодность или невыгодность той или ицой схемы зависит не только от нее самой, но и от задачи, к которой она применяется.