6. Критерии устойчивости Самарского.

В предложенной А. А. Самарским [23], [24] теории устойчивости широкого класса разностных схем в гильбертовом пространстве указаны необходимые и достаточные условия устойчивости в терминах линейных неравенств между операторными коэффициентами этих схем, а также получены другие результаты.

Приведем здесь лишь два результата из этой теории.

Пусть евклидово пространство с некоторым скалярным умножением , и пусть оператор задан равенством

где самосопряженные операторы, причем Определим энергетическую норму в пространстве положив

Тогда справедлива следующая

Теорема 2. Условия

необходимы и достаточны для выполнения неравенств

Доказательство. Определим самосопряженный оператор равенством Тогда (24) равносильно равенству (20), а условия (26) равносильны условиям т. е. условиям

Как показано в п. 5, оператор является самосопряженным в смысле скалярного умножения (21) и утверждение теоремы равносильно утверждению, что все собственные числа А, оператора лежат на отрезке в том и только том случае, если выполнены условия (28). Докажем это последнее утверждение.

Пусть выполнены условия (28). Умножим равенство (22) скалярно на собственную функцию оператора Получим откуда

Обратно, пусть Покажем, что выполнены условия (28). Пусть разложение произвольного элемента по ортонормальному в смысле скалярного умножения (21) базису Тогда

Отсюда что равносильно условиям (28). Теорема доказана.

Заметим, что проверка условий (28) равносильна проверке того, будут ли неотрицательны все собственные числа самосопряженных в смысле скалярного умножения операторов

Приведем без доказательства еще один критерий устойчивости, применимый к разностным схемам (24), для которых . Введем в пространстве У энергетическую норму положив .

Теорема 3. Выполнение условия необходимо и достаточно для того, чтобы имело место неравенство

Теорема 3 содержится в п. 4 § 1 гл. VI книги [23] и доказывается без помощи спектрального подхода, который здесь не удается применить из-за несамосопряженности оператора

ЗАДАЧИ

1. Пусть оператор задан формулами

Показать, что в пространстве сеточных функций нельзя задать скалярное произведение так, чтобы оператор стал самосопряженным.