2. Общее решение неоднородного уравнения. Фундаментальное решение.

Теперь займемся неоднородным разностным уравнением

причем ограничимся важным для дальнейшего случаем, когда среди корней характеристического уравнения (4) нет равных единице по модулю: . Сначала будем искать

решение неоднородного уравнения (9) с правой частью специального вида:

Это решение будем обозначать через и называть фундаментальным. Мы будем искать ограниченное фундаментальное решение, т. е. ограниченное решение следующих групп уравнений:

Начнем со случая некратных корней, . В этом случае общее решение однородного уравнения (3) имеет вид

Поэтому каждое частное решение однородного уравнения I записывается в форме

где — подходящим образом подобранные постоянные. Точно так же частное решение , однородного уравнения III можно записать в виде

с соответствующими постоянными

В рассматриваемом нами случае возможны следующие варианты:

Построим ограниченное фундаментальное решение в случае а). Из условия ограниченности при видно, что а = 0, а из условия ограниченности при следует . Поэтому

При обе последние формулы должны давать одно и то же значение . Отсюда . Подберем из условия выполнения уравнения II:

Знаменатель этой дроби отличен от нуля:

Итак,

Мы построили ограниченное фундаментальное решение в случае а) (рис. 3, а),

Рис. 3.

Заметим для дальнейшего, что при условиях

где — какие-нибудь числа, имеет место оценка

Для вывода оценки (11) отметим, что в силу первого условия (10) обязательно либо либо .

Очевидны также соотношения

Из этих соотношений следует оценка

и неравенство (II).

В случае б) из условия ограниченности при следует так что

Из условия вытекает Коэффициент подбираем так, чтобы удовлетворить уравнению II;

Ограниченное фундаментальное решение (рис. 3, б) в случае б) имеет вид

В случае в) по аналогии со случаем а) ограниченное фундаментальное решение имеет

Случай г) аналогичен случаю б).

Если корни кратные, то при построении ограниченного фундаментального решения вместо формулы

используется формула

В случае для получим

а в случае получим

Итак, мы разобрали все варианты, которые могут представиться в случае , и увидели, что ограниченное фундаментальное решение существует. Из выписанных формул следует, что оно экспоненциально убывает при :

где — некоторые постоянные.

При этом в качестве может служить любое число, удовлетворяющее неравенству

Мы выяснили вопрос о существовании и виде фундаментального решения, т. е. решения неоднородного уравнения (9), В случае произвольной правой части частное решение и можно записать в виде суммы ряда

если только этот ряд сходится. Это проверяется совершенно так же, как аналогичный факт для разностного уравнения первого порядка в § 2. Из оценки (12) следует, что ряд (13) заведомо сходится, если правая часть ограничена, . В этом случае

Для уравнения (9), для которого . решение задаваемое формулой (13), есть единственное ограниченное

ное решение при заданной правой части. В противном случае второе ограниченное решение получалось бы из построенного прибавлением некоторого ограниченного решения однородного уравнения (3). Но из формул для общего решения этого уравнения видно, что при единственным ограниченным при решением будет

В частности, ограниченное фундаментальное решение в случае тоже единственно.

Заметим, что при выполнении условий (10), воспользовавшись оценкой (11), из (13) легко вывести