ГЛАВА 2. КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Краевые задачи рассматриваемого в этой главе вида возникают при использовании разностных схем для численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными.

§ 4. Постановка задачи. Признаки хорошей обусловленности

1. Постановка задачи.

Простейшая краевая задача состоит в отыскании сеточной функции удовлетворяющей разностному уравнению

во внутренних точках сеточного отрезка и принимающей заданные значения

на его краях. Краевая задача для систем разностных уравнений будет сформулирована в п. 7.

Изучая уравнение , мы отметили, что при произвольном задании значений в каких-нибудь двух последовательных точках, например при произвольном задании определяется, и притом только одно, решение

Интересно выяснить, можно ли однозначно определить решение, если задаться его значениями в двух не обязательно соседних точках, как это сделано в краевой задаче (1), (2). Следующий пример показывает, что задача (1), (2) может оказаться неразрешимой.

Рассмотрим краевую задачу

Общее решение уравнения (3), как показано в § 3, может быть записано в виде

Из условия следует, что . Для выполнения условия нужно подобрать из уравнения

Но это уравнение неразрешимо, так как при любом левая часть его равна нулю, но не единице.

Если бы вместо условия мы задали (оставляя по-прежнему , то снова пришлось бы взять равным нулю, тогда как в этом случае может быть любым:

Мы видим, что краевая задача (1), (2) может, вообще говоря, вовсе не иметь решения либо решение ее может оказаться неединственным. Однако с краевыми задачами приходится часто встречаться.

Оказывается, что существуют довольно широкие классы разностных уравнений, для которых краевая задача (1), (2) не только всегда однозначно разрешима, но и обладает «слабой» чувствительностью к ошибкам округления при задании правых частей , т. е. «хорошо обусловлена».