5. Выглаживание разностного решения как действие аппроксимационной вязкости.

Мы видели, что спектр разностной схемы

аппроксимирующей задачу Коши

есть окружность При каждой точке соответствует точка спектра Это значит, что каждая гармоника заданная в качестве начальных данных, гасится, умножаясь на при каждом переходе со слоя на слой; решение с течением времени выглаживается, так как при малых (низкочастотные гармоники) погашение слабее. Отметим, что решение дифференциальной задачи (47) и с течением времени не выглаживается — оно получается из начальных данных сдвигом влево. При этом решение задачи (47), отвечающее начальному условию и есть и и множитель по модулю равен единице. Вычислительный эффект выглаживания решения, имеющий место при использовании разностной схемы (46), можно понимать как проявление аппроксимационной вязкости, присущей этой схеме. Объясним, что мы понимаем под аппроксимационной вязкостью. Если уравнение считать простейшей моделью уравнений движения невязкого газа, то уравнение

естественно считать моделью уравнений движения вязкого газа с вязкостью, равной выглаживающей решение. При начальном условии решение уравнения (48) имеет вид

При гасящий гармонику множитель можно записать так:

Будем предполагать, что решение иразностной задачи можно доопределить вне сетки так, чтобы полученная при этом гладкая функция была равномерно по h ограничена вместе со своими производными до четвертого порядка.

Тогда в точках сетки пользуясь формулой Тейлора, можно написать

Здесь и далее равномерно ограниченные вместе со своими производными функции.

Из равенства (50) следует, в частности,

Дифференцируя это тождество по t, получим

Подставляя выражение для в равенство (50) и отбрасывая члены второго порядка малости, получим дифференциальное уравнение вида (48):

которое будем рассматривать не на сетке, а всюду при

Таким образом, разностное уравнение (46) оказалось в «основном совпадающим» с дифференциальным приближением (51), которое есть уравнение вида (48) с малой вязкостью . Эта вязкость носит название аппроксимационной, так как появилась в результате аппроксимации задачи (47) разностной задачей (46). Дифференциальное уравнение (51) сглаживает начальные данные в основном так же, как схема (46). Действительно, если , то к моменту эта гармоника, в соответствии с формулой (49), умножится на

При разностной схеме (46) получим в момент ту же гармонику, умноженную на множитель

который совпадает с множителем (52) с точностью до бесконечно малых Второго относительно (или ) порядка.