3. Схемы с пересчетом, или схемы предиктор-корректор.
При построении разностных схем, аппроксимирующих нестационарные задачи, может быть использована та же идея, которая лежит в основе конструкции схем Рунге — Кутта для обыкновенных дифференциальных уравнений, — идея пересчета. Пересчет позволяет повысить порядок аппроксимации, получаемый по исходной схеме, не использующей пересчета. Кроме того, в случае квазилинейных дифференциальных уравнений пересчет дает дополнительную возможность получения так называемых дивергентных схем, о которых будет идти речь в § 30.
Напомним идею пересчета на примере простейшей из схем Рунге — Кутта численного решения задачи Коши для уравнения
Если значение 
в точке 
уже вычислено, то для вычисления 
находим предварительно вспомогательную величину 
пользуясь простейшей схемой Эйлера (схема «предиктор»)
а затем осуществляем корректирующий пересчет по схеме
Вспомогательная величина 
найденная по схеме первого порядка точности, позволяет приближенно найти угловой коэффициент интегральной кривой в середине отрезка 
и получить 
по формуле (20) с большей точностью, чем это было бы по схеме Эйлера (19).
Мы уже отмечали в п. 4 § 19, что все соображения остаются 
в силе, если 
будут конечномерными векторами, 
вектор-функцией. Но можно пойти и дальше, а именно считать 
элементами функционального пространства, а 
оператором в этом пространстве. Например, задачу Коши
, можно считать задачей вида (18), если положить 
так что при каждом t под у надо понимать функцию аргумента 
, а под операцией 
понимать оператор 
Приведем пример разностной схемы с пересчетом для задачи (21).
Пример. Пусть сеточная функция 
при данном 
уже вычислена. Найдем вспомогательную сеточную функцию 
отнесенную к моменту времени 
и к точкам 
воспользовавшись следующей схемой первого порядка точности:
Затем осуществим коррекцию и найдем 
с помощью схемы
Исключая 
из уравнений (22), (23), получим схему
Эта схема при 
совпадает со схемой (17). Случай 
несущественно отличается от разобранного. Схема (24), а значит, и схема с пересчетом (22), (23) имеют второй порядок аппроксимации по 
