§ 45. Алгоритм вычисления спектра семейства разностных операторов над сеточными функциями на отрезке

В этом параграфе мы опишем алгоритм вычисления спектра семейства разностных операторов над пространствами точных функций (или вектор-функций) на отрезке. За норму функции (или вектор-функции) примем максимум абсолютных

величин значений, принимаемых функцией (или компонентами вектор-функции),

1. Характерный пример.

Семейство операторов определим равенствами

Оператор определенный равенствами (1), возникает при естественном приведении разностной краевой задачи

к виду

Соотношения (2) являются разностным аналогом дифференциальной краевой задачи

Мы уже рассматривали разностную схему (2) в п. 2 § 26 в качестве примера, иллюстрирующего применение признака Бабенко—Гельфанда. Напомним, что согласно этому признаку исследование исходной задачи на отрезке следует разбить на исследование трех вспомогательных задач: задачи без боковых границ, задачи с одной только левой границей и задачи с одной только правой границей, для каждой из которых надо найти все собственные значения операторов перехода от

Оказывается, что алгоритм вычисления спектра семейства операторов совпадает с процедурой Бабенко — Гельфанда.

Чтобы описать алгоритм вычисления спектра семейства операторов наряду с оператором заданным равенствами (1), рассмотрим три вспомогательных оператора: и . Оператор задается на линейном пространстве ограниченных функций определенных на всей сеточной прямой по формуле

Эта формула получается из равенств (1) при удалении левой границы в а правой в что отражено стрелкой с концами в обозначении оператора: . Оператор ,

задается на линейном пространстве сеточных функций определенных на сеточной полупрямой и стремящихся к нулю при . Он задается формулой

Эта формула получается из формул (1) при удалении правой границы в что отражено мнемоническим значком - в обозначении оператора:

Наконец, оператор над функциями

определенными на сеточной полупрямой зададим формулами

Эти формулы получились из формул (1) при удалении левой границы в что также отражено в обозначении оператора:

Рис. 54.

Мы видим, что операторы от h не зависят. Области определения функций для операторов (1), (3), (4) и (5) показаны на рис. 54. Будет показано, что совокупность собственных значений всех трех операторов и составляет спектр семейства разностных операторов

Собственные значения операторов мы уже вычисляли в § 26, однако воспроизведем здесь их вычисление, так как, прежде чем переходить к доказательству сформулированного утверждения, надо отчетливо представить себе структуру собственных функций операторов

Прежде всего выясним, каково множество точек на комплексной плоскости, для которых уравнение

имеет ограниченное решение . Эти числа и есть собственные значения оператора R. В нашем примере уравнение имеет вид

Всякое решение этого обыкновенного разностного уравнения первого порядка, как вытекает из § 1, может лишь постоянным множителем отличаться от сеточной функции где q — корень характеристического уравнения . Связь между числами и q можно записать также в форме

Решение ограничено при и при только в том случае, если Поэтому множество тех значений А, при которых решение ограничено, получается по формуле

когда пробегает единичную окружность на комплексной плоскости. Точка А пробегает при этом окружность А радиуса с центром в точке (рис. 26, а, стр. 289).

Вычислим собственные значения оператора R, т. е. те К, при которых уравнение

имеет решение стремящееся к нулю при

Уравнение в развернутом виде можно записать так:

Его решение стремится к нулю при если Соответствующие собственные значения заполняют при этом внутренность круга радиуса с центром в точке

Алгоритм вычисления собственных чисел оператора R аналогичен алгоритму вычисления собственных чисел оператора R. Уравнение запишем развернуто:

Всякая сеточная функция , удовлетворяющая первому из этих соотношений, с точностью до постоянного множителя по-прежнему имеет вид причем по-прежнему связаны равенством Решение стремится к нулю при если Второе соотношение (6), т. е. равенство накладывает на решение дополнительное требование или . Если точка лежит вне круга радиуса с центром в точке , изображенного на рис. 26, в, т. е. если то ей соответствует некоторое значение Множество тех к, при которых уравнение имеет стремящееся к нулю при решение, состоит из одной этой точки . В случае как следует из проделанного анализа, уравнение не имеет стремящихся к нулю при решений ни при каком комплексном (или вещественном) k.

Объединение собственных значений операторов изображено для случая на рис. 27, а, а для случая на рис. 27, б и 27, в,

Докажем теперь, что спектр семейства операторов совпадает с объединением множеств собственных значений вспомогательных операторов

Надо показать, что каждая точка множества принадлежит спектру семейства разностных операторов и что других точек спектр не содержит.

Сначала покажем, что всякая точка принадлежит спектру семейства разностных операторов. Для этого достаточно установить, что, каково бы ни было неравенство

имеет решение и при всех достаточно малых положительных значениях h. Решение можно назвать «почти собственным вектором» оператора поскольку решение уравнения в алгебре принято называть собственным вектором.

Построения, с помощью которых проводится доказательство, зависят от того, какому из трех множеств или принадлежит точка Начнем со случая Покажем, что при любом и всех достаточно малых h неравенство (7) имеет решение .

Переходим к построению функции По определению множества существует такое, что

, а уравнение имеет ограниченное решение Будем рассматривать это решение только при , сохраняя обозначение v. Вектор

очевидно, удовлетворял бы уравнению , которое в развернутом виде записывается соотношениями

если бы не нарушалось последнее из этих соотношений. Соотношение можно считать граничным условием для решения обыкновенного разностного уравнения

Рис. 55.

Чтобы удовлетворить этому граничному условию, которое задано при , т. е. на правом конце отрезка , «подправим» вектор помножив каждую из его компонент на множитель . Полученный вектор обозначим

На рис. 55 приведены графики функций в случае Норма вектора и равна единице:

Оценим норму вектора определенного равенством Для координат вектора w получаем следующие выражения:

Отсюда видно, что и при выполнено неравенство Этим и завершается доказательство того, что точка принадлежит спектру семейства разностных операторов

Покажем, что если точка принадлежит одному из множеств А или , то она является точкой спектра семейства операторов Пусть для определенности Тогда по определению множества уравнение которое в развернутом виде записывается равенствами

имеет решение

Будем рассматривать это решение только при , положив

Вычислим для этой сеточной функции и, график которой в случае изображен на рис. 56, норму вектора Из равенств

следует, что Если h настолько мало, что то поскольку

Итак, доказано, что в нашем примере все точки множеств принадлежат спектру семейства разностных операторов.

Рис. 56.

Покажем теперь, что всякая точка не принадлежащая множествам , не принадлежит спектру семейства .

Именно покажем, что существует число не зависящее от h и такое, что для любой функции выполнено неравенство

Тогда при неравенство не имеет решения и точка не принадлежит спектру. Обозначим тогда неравенство (8) запишется так:

Эту оценку мы и будем обосновывать. Равенство запишем в развернутом виде:

Будем рассматривать эти соотношения как уравнение относительно и, а будем считать заданной правой частью. Запишем решение в виде суммы, положив

где компоненты ограниченного решения следующего уравнения:

Тогда в силу линейности вектор компоненты которого входят в равенство (11), есть решение уравнения

Для доказательства оценки (9), которую при сделанном выборе нормы можно переписать в форме в силу соотношения достаточно установить оценки вида

где — некоторые постоянные. Начнем с оценки (14). Заметим, что уравнение (12) есть уравнение первого порядка вида

где . Уравнение такого вида было рассмотрено в § 2, где получена оценка

В рассматриваемом примере , где — расстояние от точки до множества . Из (16) поэтому

вытекает доказываемое неравенство (14). Оценка (15) вытекает из записи решения уравнения (13) в следующем виде:

где определяется соотношением . По предположению точка не принадлежит множеству и поэтому лежит вне круга с центром в точке и радиусом в этом случае . Далее, так как если бы было , то принадлежало бы множеству . Итак, используя равенство (17) и учитывая уже доказанную оценку (14), получим неравенство (15):

Итак, доказано, что спектр семейства операторов определенного формулой (1), совпадает с объединением множеств на комплексной плоскости.