4. Примеры исследования устойчивости.

Пример 1. Займемся теперь анализом устойчивости разностной схемы (14) для системы дифференциальных уравнений. Нормы в введем равенствами

Как мы видели, после введения обозначений

рассматриваемая система разностных уравнений принимает канонический вид (13).

Введем норму в двумерном пространстве Y, которому принадлежат положив

Нормы в оказываются удовлетворяющими условиям (17). Поэтому для проверки устойчивости достаточно показать, что

Заметим, что при выбранной нами в норме векторов норма Любого линейного оператора

задается формулой

поскольку достигается хотя бы при одном из двух векторов или

В силу формулы (19) для получим

Следовательно,

и устойчивость доказана.

Пример 2. Рассмотрим схему

которая при аппроксимирует со вторым порядком относительно задачу Коши (1).

Нормы введем равенствами

Для исследования устойчивости постараемся записать разностную схему в форме (13) и свести доказательство к получению оценки Перепишем разностное уравнение (20) в виде

Записи его в форме (13) мешает то, что оно связывает не два, а три последовательных значения: Чтобы преодолеть эту трудность, положим

Тогда пара равенств

выражает компоненты вектора через компоненты, вектора

Мы записали задачу (20) в форме (13), где

Введем норму в двумерном пространстве Y, которому принадлежат по формуле

Тогда нормы

как легко видеть, удовлетворяют условиям (17). Поэтому оценка

доказывает устойчивость.

Пример 3. Исследуем устойчивость разностной схемы

приближающей при естественном выборе норм задачу Коши (3). Нормы определим равенствами

Для приведения исследуемой схемы к каноническому виду (13) положим, как в примере 2,

Тогда компоненты вектора однозначно выражаются через компоненты вектора в силу заданного разностного уравнения по формулам

Таким образом,

где

В силу условий вычислим вектор :

чем и завершим приведение исследуемой разностной схемы к виду (13).

Легко видеть, что если норму вектора определить как то нам не удастся так просто доказать устойчивость с нашим оператором , так как . Поэтому норму в пространстве У определим не так, как в примере 2. Именно, положим

Мы поставили значок h при Y, чтобы подчеркнуть, что норма теперь зависит от h. При сделанном выборе норм между выполнены соотношения (17). Остается проверить выполнение условия . Нам известна формула (19), выражающая норму оператора через элементы задающей его матрицы, если норма в пространстве У задана формулой

Сведем задачу вычисления нормы оператора в пространстве к этому случаю:

где . Покажем, что для любого линейного преобразования Т, действующего в пространстве Y, справедливо равенство . В самом деле,

Далее,

Теперь заметим, что

Так как то

Поэтому

где С — какая-нибудь не зависящая от h постоянная, выбранная из условия

В частности, при достаточно малых h этому условию удовлетворяет, очевидно, число .

Итак,

что гарантирует устойчивость исследуемой схемы.