§ 22. Простейшие приемы построения аппроксимирующих разностных схем

1. Замена производных разностными отношениями.

Простейший прием построения разностных краевых задач, аппроксимирующих дифференциальные, состоит в замене производных соответствующими разностными отношениями. Приведем, несколько примеров разностных схем, полученных таким способом. В этих примерах будут использованы приближенные формулы

Предполагая функцию имеющей достаточное числоограниченных производных, можно выписать выражения для

остаточных членов этих формул. По формуле Тейлора

Используя разложения (2), можно получить выражения для остаточных членов приближенных формул (1). Именно, справедливы равенства

Остаточные члены приближенных формул (1) входят в соответствующие равенства (3) в виде выражений в квадратных скобках.

Очевидно, что формулы (1) и выражения остаточных членов, выписанные в формулах (3), можно использовать и при замене частных производных разностными отношениями. Например,

причем

Точно так же справедливы формулы

и при этом

и т. д.

Пример 1. Вернемся к задаче Коши (4) из § 21:

Для аппроксимации этой задачи Коши построим три схемы. Во всех этих схемах используем сетку , образованную точками пересечения прямых , попавшими в полосу . Значения будем считать связанными соотношением , где — некоторая положительная постоянная. Простейшая из этих схем имеет вид (5) из § 21:

и получается при замене производных и во приближенным формулам

Мы подробно исследовали эту схему в § 21. Для нее невязка , возникающая при подстановке решения дифференциальной задачи в левую часть разностной задачи

выражается формулой

За норму элемента пространства примем в этом параграфе максимум всех компонент элемента . Тогда, очевидно,

В порядок аппроксимации получается первый, t Вторая схема получается при использовании другой формулы для замены

она имеет вид

Здесь

и порядок аппроксимации снова получается первый.

Вторая схема, казалось бы, совсем несущественно отличается от первой. В дальнейшем мы увидим, однако, что вторая схема непригодна для счета: она неустойчива при любом

Третья схема,

получается при замене производных разностными отношениями «о приближенным формулам

С помощью тейлоровских разложений (2) для достаточно гладкого решения задачи (1) получаем

Поэтому

так что из формулы

имеет вид

Следовательно, и имеет место аппроксимация первого порядка, как и в двух первых примерах.

Рис. 10.

Рассмотрим теперь случай, когда связь между шагами сетки задается не формулой как выше, а формулой

предписывающей ускоренное измельчение шага по сравнению с шагом . В этом случае

Отсюда видно, что рассматриваемая разностная схема аппроксимирует задачу

а вовсе не задачу Коши (4), которую мы хотели аппроксимировать.

Мы столкнулись с тем фактом, что одна и та же разностная схема может в случае различной связи аппроксимировать при различные дифференциальные задачи. Такого рода разностные схемы называют негибкими.

Для облегчения запоминания разностной схемы ее обычно принято сопоставлять с картинкой, на которой изображено взаимное расположение точек сетки («шаблон»), значения решения в которых связывает разностное уравнение при некоторых фиксированных значениях тип.

Для трех рассмотренных схем эти картинки изображены рис. 10.

Пример 2. Приведем две разностные схемы, аппроксимирующие задачу Коши для уравнения теплопроводности

Простейшая из них,

получается при замене производных разностными отношениями по формулам

Если для замены использовать другую формулу:

мы придем к другой схеме для того же уравнения:

Чтобы различать операторы этих двух схем, мы снабдили их номерами <и написали Шаблоны, соответствующие этим разностным схемам, изображены на рис. 11.

Рис. 11.

Эти схемы существенно отличаются. Вычисление решения по первой из них не представляет труда и проводится по явной формуле

где . Эта формула получена из разностного уравнения в результате решения его относительно . Зная значения решения на слое сетки, мы можем вычислить его значения на следующем слое

Вторая схема лишена этого удобного свойства. Поэтому ее называют неявной. В этом случае разностное уравнение, выписанное при фиксированных тип, нельзя разрешить относительно выразив это значение через известные значения с предыдущего слоя. Дело в том, что в это уравнение входит не только неизвестное значение но также И неизвестные Поэтому для определения придется решать разностное уравнение относительно сеточной функции аргумента . Тем не менее, в дальнейшем будет показано, что схема как правило, удобнее схемы .

При , обе схемы имеют второй порядок аппроксимации относительно, h. Вычислим невязку оценим порядок аппроксимации для второй из этих схем. Пользуясь формулами (3), можно написать

Отсюда, с учетом можно написать

Но

Поэтому

Пример 3. Рассмотрим простейшую разностную схему, аппроксимирующую задачу Дирихле для уравнения Пуассона в квадрате с границей Г (рис. 12, а):

Построим сетку , отнеся к ней те точки которые попали внутрь квадрата или на его границу.

Рис. 12.

Шаг будем считать выбранным так, чтобы число было целым. Разностную схему зададим равенствами

Невязка имеет в силу формул (3)

так что аппроксимация имеет второй порядок. Пятиточечный шаблон, отвечающий использованному разностному уравнению, изображен на рис. 12, б.

Разностные схемы, построенные выше, получались путем замены каждой производной в дифференциальном уравнении тем или иным разностным отношением.