2. Сходящиеся разностные схемы.

Способами построения и исследования сходящихся разностных схем мы будем заниматься на протяжении всей главы. Однако прежде надо придать точный смысл самому требованию сходимости , которое мы будем предъявлять к разностным схемам. Для этого рассмотрим линейное нормированное пространство функций, определенных на сетке . Норма сеточной функции есть неотрицательное число, которое принимается за меру отклонения функции от тождественного нуля. Напомним, что линейное пространство R называется нормированным, если каждому элементу этого пространства поставлено в соответствие неотрицательное число причем выполнены следующие три аксиомы нормы:

Норма может быть определена различными способами. Можно, например, принять за норму функции точную верхнюю грань модуля ее значений в точках сетки, положив

Если — пара функций, как в (9), то за норму, аналогичную (10), можно принять верхнюю грань модулей обеих функций на соответствующих им сетках.

Если состоит из функций, определенных на сетке то часто используют норму, определенную равенством

Эта норма аналогична норме

для функций и с интегрируемым на отрезке квадратом.

Всюду, где не оговорено противное, мы будем пользоваться нормой (10).

После того, как введено нормированное пространство приобретает смысл понятие отклонения одной функции от другой. Если — две произвольные сеточные функции из , то мерой их отклонения друг от друга считается норма их разности, т. е. число

Теперь можно перейти к строгому определению сходящейся разностной схемы.

Пусть для приближенного вычисления решения дифференциальной краевой задачи (1), т. е. для приближенного вычисления сеточной функции на основе использования равенства (1), составлена некоторая система уравнений, которую будем символически записывать, аналогично уравнению (1), в форме равенства

Примерами могут служить разностные схемы (6), (7), (9) для дифференциальных краевых задач (2), (4), (5) соответственно.

Для записи схемы (6) в форме (11) можно положить

Схема (7) запишется в форме (11), если принять

Запишем еще в виде (11) схему (9), приняв

Система (11), как видим, зависит от h и должна быть выписана для всех тех , для которых рассматривается сетка в сеточная функция . Таким образом, разностная краевая задача (11) — это не одна система, а семейство систем, зависящее от параметра

Будем предполагать, что при каждом рассматриваемом достаточно малом h существует решение задачи (11), принад-, лежащее пространству

Будем говорить, что решение разностной краевой задачи (11) при измельчении сетки сходится к решению и дифференциальной краевой задачи (1), если

Если, сверх того, выполнено неравенство

где — некоторые постоянные, не зависящие от h, то будем говорить, что имеет место сходимость порядка или что разностная схема имеет порядок точности.

В § 8 были рассмотрены две разностные схемы для задачи

Полученные там оценки разности и между точным и приближенным решениями означают, что для первой из этих схем имеет место сходимость порядка Н, а для второй — сходимость порядка

Обладание свойством сходимости является фундаментальным требованием, которое предъявляется к разностной схеме (11) для численного решения дифференциальной краевой задачи (1). Если оно имеет место, то с помощью разностной схемы (И) можно вычислить решение и с любой наперед заданной точностью, выбирая для этого h достаточно малым. Мы точно сформулировали понятие сходимости и подошли к центральному вопросу о том, как построить сходящуюся разностную схему (11) для вычисления решения дифференциальной краевой задачи (1). Приведенные выше примеры дополняют рассмотренные в гл. 1 и дают представление о простейшем способе построения таких схем: следует выбрать сетку и заменить производные разностными отношениями. Однако для одной и той же дифференциальной краевой задачи, как мы видели, можно получить различные разностные схемы (11), по-разному выбирая сетку и по-разному заменяя производные приближающими их разностными отношениями. Мы уже видели на примере простейшего обыкновенного дифференциального уравнения из § 6, что разностная схема может оказаться непригодной для счета.